Seja f uma função dada por
f(x)=\frac{1-x^{2}}{(x-2)^{2}}
Determine:
a) ( \mathbf{2} pontos) O domínio de f.
b) ( 5 pontos) Verifique que f^{\prime}(x)=\frac{4 x-2}{(x-2)^{3}}.
c) ( 5 pontos) Os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
d) ( \mathbf{5} pontos) Os pontos críticos de f, caso existam.
e) (5 pontos) Sabendo que f^{\prime \prime}(x)=\frac{-8 x-2}{(x-2)^{4}}. Os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baixo.
f) ( \mathbf{4} pontos) Os pontos de inflexão do gráfico de f. caso existam.
g) ( 3 pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de f, caso existam.
h) ( \mathbf{3} pontos) As assíntotas verticais ao gráfico de f, caso existam.
i) ( \mathbf{8} pontos) Fazer um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1-x^{2}}{(x-2)^{2}}
e pede, em partes (a) a (i):
  • (a) o domínio de f;
  • (b) verificar que f'(x)=\dfrac{4x-2}{(x-2)^3};
  • (c) os intervalos de crescimento e decrescimento de f;
  • (d) os pontos críticos de f, se existirem;
  • (e) sabendo que f''(x)=\dfrac{-8x-2}{(x-2)^4}, os intervalos de concavidade (côncava para cima/baixo);
  • (f) os pontos de inflexão, se existirem;
  • (g) assíntotas horizontais, se existirem;
  • (h) assíntotas verticais, se existirem;
  • (i) um esboço do gráfico de f.
Informações relevantes dadas explicitamente:
  • A fórmula de f(x).
  • Em (b) pede verificar um resultado para f'(x).
  • Em (e) é dada a fórmula de f''(x) (usar para a parte (e)/(f)).

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Explicação didática:
  • O domínio de uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} são todos os reais exceto os x que anulam Q(x), porque divisão por zero não é permitida.
  • Aqui Q(x)=(x-2)^{2}. Então devemos ter (x-2)^{2}\neq 0, ou seja x\neq 2.
Conclusão:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 3

Verificar f'(x)=\dfrac{4x-2}{(x-2)^3} (derivação passo a passo).
Relembrando a regra usada (Quociente):
  • Se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
  • Aqui u(x)=1-x^{2} e v(x)=(x-2)^{2}.
Calcular u'(x) e v'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(1-x^{2})=-2x.
v'(x)=\frac{d}{dx}((x-2)^{2})=2(x-2)\cdot 1=2(x-2).
Aplicar a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(-2x)(x-2)^{2}-(1-x^{2})\cdot 2(x-2)}{(x-2)^{4}}.
Agora simplificar o numerador passo a passo:
  1. Factor comum (x-2) no numerador (observe que ambos os termos têm um fator (x-2)):
(-2x)(x-2)^{2}-(1-x^{2})\cdot 2(x-2) =(x-2)\Big[(-2x)(x-2)-2(1-x^{2})\Big].
  1. Expandir dentro dos colchetes:
(-2x)(x-2)=-2x^{2}+4x,
-2(1-x^{2})=-2+2x^{2}.
Somando:
(-2x^{2}+4x)+(-2+2x^{2})=4x-2.
Logo o numerador fica (x-2)(4x-2).
Colocando no quociente:
f'(x)=\frac{(x-2)(4x-2)}{(x-2)^{4}}.
Simplificando um fator (x-2) entre numerador e denominador:
f'(x)=\frac{4x-2}{(x-2)^{3}}.
Portanto a fórmula pedida está verificada.

Passo 4

Definir pontos críticos e encontrá-los.
Definição didática:
  • Pontos críticos (valores de x) são os pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe (mas só contam se estiverem no domínio de f).
Resolver f'(x)=0:
\frac{4x-2}{(x-2)^{3}}=0 \iff 4x-2=0 \iff x=\frac{1}{2}.
Verificar onde f' não existe: f'(x) não existe em x=2 porque o denominador é zero, mas x=2 NÃO pertence ao domínio de f. Então não entra como ponto crítico (pelo sentido usual de ponto crítico do gráfico de f — ponto deve estar no domínio).
Conclusão:
  • O único ponto crítico em \text{Dom}(f) é x=\dfrac{1}{2}.
  • O ponto no plano é \left(\dfrac{1}{2}, f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\right). Calcular f(\tfrac{1}{2}):
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1-(\tfrac{1}{2})^{2}}{(\tfrac{1}{2}-2)^{2}} =\frac{1-\tfrac{1}{4}}{(-\tfrac{3}{2})^{2}} =\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{9}{4}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
Logo o ponto crítico é \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right).

Passo 5

Estudar crescimento/decrescimento usando o sinal de f'.
Lembrete didático:
  • Onde f'(x)>0 a função é crescente; onde f'(x)<0 é decrescente.
  • Como f'(x)=\dfrac{4x-2}{(x-2)^{3}}, o sinal de f' é o produto do sinal de 4x-2 e do sinal de (x-2)^{3}. O sinal de (x-2)^{3} é o mesmo sinal de x-2 (porque o cubo preserva o sinal).
Pontos importantes para mudança de sinal:
  • Zero do numerador: x=\tfrac{1}{2}.
  • Zero/indefinição do denominador: x=2 (mas está fora do domínio).
    Portanto particionamos a reta em três intervalos: (-\infty,\tfrac{1}{2}), (\tfrac{1}{2},2), (2,\infty).
Analisar o sinal em cada intervalo:
  • Para x<\tfrac{1}{2}: 4x-2<0 e x-2<0 ⇒ produto (4x-2)(x-2) é positivo ⇒ f'(x)>0. Logo crescente em (-\infty,\tfrac{1}{2}).
  • Para \tfrac{1}{2}<x<2: 4x-2>0 e x-2<0 ⇒ produto negativo ⇒ f'(x)<0. Logo decrescente em (\tfrac{1}{2},2).
  • Para x>2: 4x-2>0 e x-2>0 ⇒ produto positivo ⇒ f'(x)>0. Logo crescente em (2,\infty).
Conclusão:
  • f é crescente em (-\infty,\tfrac{1}{2})\cup(2,\infty).
  • f é decrescente em (\tfrac{1}{2},2).
Observação útil (classificação do extremo em x=\tfrac{1}{2}):
  • Como o sinal de f' passa de positivo para negativo ao atravessar x=\tfrac{1}{2}, x=\tfrac{1}{2} é um ponto de máximo local. Confirmar com f''(\tfrac{1}{2})<0 mais adiante.

Passo 6

Determinar intervalos de concavidade usando f''(x)=\dfrac{-8x-2}{(x-2)^{4}}.
Relembrando a teoria:
  • Onde f''(x)>0 o gráfico é côncavo para cima (segue como uma “tigela”); onde f''(x)<0 é côncavo para baixo (como um “morro”).
  • Note que (x-2)^{4}>0 para todo x\neq2. Portanto o sinal de f'' é o sinal do numerador -8x-2.
Resolver f''(x)=0:
-8x-2=0 \iff -8x=2\iff x=-\frac{1}{4}.
Analisar o sinal de -8x-2:
  • Para x<-\tfrac{1}{4}: pegue x=-1 como exemplo → -8(-1)-2=6>0 f''(x)>0 ⇒ côncava para cima.
  • Para x>-\tfrac{1}{4} (mas x\neq2): -8x-2<0 f''(x)<0 ⇒ côncava para baixo.
Lembrar de excluir x=2 do domínio.
Conclusão:
  • f é côncava para cima em (-\infty,-\tfrac{1}{4}).
  • f é côncava para baixo em (-\tfrac{1}{4},2)\cup(2,\infty).

Passo 7

Determinar pontos de inflexão.
Definição didática:
  • Ponto de inflexão é um ponto do domínio onde a concavidade muda (ou seja, f'' muda de sinal). Costuma ocorrer onde f''(x)=0 ou onde f'' é indefinida (se a mudança de sinal ocorrer).
Aqui f''(x)=0 em x=-\tfrac{1}{4} e verificamos que f'' troca de positivo para negativo ao atravessá-lo (Passo 6). Além disso x=-\tfrac{1}{4} pertence ao domínio ( -\tfrac{1}{4}\neq2), logo é ponto de inflexão.
Calcular a ordenada correspondente:
f\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)=\frac{1-\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{2}}{\left(-\tfrac{1}{4}-2\right)^{2}} =\frac{1-\tfrac{1}{16}}{(-\tfrac{9}{4})^{2}} =\frac{\tfrac{15}{16}}{\tfrac{81}{16}} =\frac{15}{81}=\frac{5}{27}.
Conclusão:
  • Há um único ponto de inflexão em \displaystyle\left(-\tfrac{1}{4},\tfrac{5}{27}\right).

Passo 8

Assíntotas horizontais.
Definição rápida:
  • Asymptota horizontal existe se \lim_{x\to\infty}f(x) ou \lim_{x\to-\infty}f(x) é finito; esse limite é a ordenada da assíntota.
Calcular \lim_{x\to\pm\infty}f(x). Uma maneira prática é dividir numerador e denominador por x^{2}:
f(x)=\frac{1-x^{2}}{(x-2)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{x^{2}}-1}{1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{4}{x^{2}}}.
Tomando x\to\infty (ou x\to-\infty), os termos com 1/x e 1/x^{2} tendem a zero, restando
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{0-1}{1-0+0}=-1.
Portanto existe a assíntota horizontal y=-1.
Informação extra útil sobre o sentido de aproximação:
  • Escrever f(x)+1=\dfrac{5-4x}{(x-2)^{2}}. Para x\to+\infty, o termo \dfrac{5-4x}{(x-2)^{2}} é negativo → aproximação por baixo ( f<-1); para x\to-\infty esse termo é positivo → aproximação por cima ( f>-1). (Isto ajuda a desenhar o esboço.)

Passo 9

Assíntotas verticais.
Regra prática:
  • Se Q(a)=0 e P(a)\neq0 para a racional P/Q, então x=a é assíntota vertical (tendências a \pm\infty).
Aqui Q(x)=(x-2)^{2} zero em x=2. Avaliar P(2)=1-2^{2}=1-4=-3\neq0. Logo x=2 é assíntota vertical.
Determinar o comportamento lateral:
  • Para x\to 2^{\pm}, o denominador (x-2)^{2}\to 0^{+} (sempre positivo), e 1-x^{2}\to -3. Assim
f(x)\to \frac{-3}{0^{+}}=-\infty
em ambos os lados. Portanto próximo a x=2 o gráfico vai para -\infty tanto à direita quanto à esquerda.
Conclusão:
  • Há uma assíntota vertical em x=2 (ambos os limites laterais são -\infty).

Passo 10

Reunir pontos importantes e orientar o esboço do gráfico (para a parte (i)).
Pontos e informações para marcar no esboço:
  • Domínio: x\neq2.
  • Zeros de f: resolver 1-x^{2}=0 x=\pm1. Então pontos (-1,0) e (1,0).
  • Intercepto y (quando x=0): f(0)=\dfrac{1}{4}. Ponto (0,\tfrac{1}{4}).
  • Ponto crítico (máximo local): \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\big). Neste ponto a função muda de crescente para decrescente.
  • Ponto de inflexão: \big(-\tfrac{1}{4},\tfrac{5}{27}\big).
  • Assíntotas: vertical x=2; horizontal y=-1.
  • Comportamento perto da assíntota vertical: f(x)\to -\infty quando x\to 2^{\pm}.
  • Comportamento no infinito: \lim_{x\to\infty}f(x)=-1 aproximando por baixo; \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1 aproximando por cima.
  • Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-\tfrac{1}{4}), côncava para baixo em (-\tfrac{1}{4},2) e (2,\infty).
  • Crescimento/decrescimento (resumo): crescente em (-\infty,\tfrac{1}{2}) até o máximo em \tfrac{1}{2}, depois decresce até aproximar -\infty em x\to2^{-}, do outro lado de x=2 sai de -\infty e cresce para o limite horizontal -1.
Como esboçar na prática (passos para desenhar à mão, de forma simples):
  1. Desenhar as retas assíntotas: vertical x=2 e horizontal y=-1.
  2. Marcar zeros (-1,0) e (1,0), intercepto y em (0,\tfrac{1}{4}).
  3. Marcar máximo local em \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\big) (o gráfico sobe até ali e depois desce).
  4. Para x indo para 2^{-}, o gráfico decresce e vai para -\infty.
  5. À direita de x=2, o gráfico vem de -\infty e sobe, cruzando possivelmente o eixo x em x=1 (note que 1<2, então o zero x=1 está à esquerda da assíntota; verificar: de fato o zero x=1 fica antes de x=2). Corrigindo a leitura: os zeros x=-1 e x=1 estão no ramo à esquerda de x=2; para x>2 o gráfico não cruza o eixo x (chega a -1 por baixo).
  6. Usar a concavidade indicada para dar a curvatura do traço: à esquerda do -\tfrac{1}{4} curvatura para cima; entre -\tfrac{1}{4} e 2 curvatura para baixo; para x>2 curvatura para baixo também.
  7. Lembre-se: para x\to-\infty o gráfico se aproxima de y=-1 vindo por cima; para x\to+\infty se aproxima de y=-1 vindo por baixo.
Com esses pontos e comportamento você consegue desenhar um esboço consistente do gráfico.

Resposta

(a) \text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}.
(b) f'(x)=\dfrac{4x-2}{(x-2)^{3}}.
(c) f é crescente em (-\infty,\tfrac{1}{2})\cup(2,\infty) e decrescente em (\tfrac{1}{2},2).
(d) Ponto crítico: x=\tfrac{1}{2}, isto é o ponto \displaystyle\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right).
(e) f é côncava para cima em (-\infty,-\tfrac{1}{4}) e côncava para baixo em (-\tfrac{1}{4},2)\cup(2,\infty).
(f) Ponto de inflexão: \displaystyle\left(-\tfrac{1}{4},\tfrac{5}{27}\right).
(g) Assíntota horizontal: y=-1.
(h) Assíntota vertical: x=2.
(i) Esboço: marcar assíntotas x=2 e y=-1; zeros em (-1,0) e (1,0); intercepto (0,\tfrac{1}{4}); máximo local em \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\big); ponto de inflexão em \big(-\tfrac{1}{4},\tfrac{5}{27}\big); gráfico vai para -\infty quando x\to2^{\pm}; aproxima y=-1 quando x\to\pm\infty (por cima à esquerda e por baixo à direita).

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