Seja
uma função dada por
Determine:
a) (
pontos) O domínio de
.
b) ( 5 pontos) Verifique que
.
c) ( 5 pontos) Os intervalos onde
é crescente e onde
é decrescente.
d) (
pontos) Os pontos críticos de
, caso existam.
e) (5 pontos) Sabendo que
. Os intervalos onde
é côncava para cima e côncava para baixo.
f) (
pontos) Os pontos de inflexão do gráfico de
. caso existam.
g) ( 3 pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de
, caso existam.
h) (
pontos) As assíntotas verticais ao gráfico de
, caso existam.
i) (
pontos) Fazer um esboço do gráfico de
.
a) (
b) ( 5 pontos) Verifique que
c) ( 5 pontos) Os intervalos onde
d) (
e) (5 pontos) Sabendo que
f) (
g) ( 3 pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de
h) (
i) (
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, em partes (a) a (i):
- (a) o domínio de
; - (b) verificar que
; - (c) os intervalos de crescimento e decrescimento de
; - (d) os pontos críticos de
, se existirem; - (e) sabendo que
, os intervalos de concavidade (côncava para cima/baixo); - (f) os pontos de inflexão, se existirem;
- (g) assíntotas horizontais, se existirem;
- (h) assíntotas verticais, se existirem;
- (i) um esboço do gráfico de
.
Informações relevantes dadas explicitamente:
- A fórmula de
. - Em (b) pede verificar um resultado para
. - Em (e) é dada a fórmula de
(usar para a parte (e)/(f)).
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Explicação didática:
- O domínio de uma função racional
são todos os reais exceto os que anulam , porque divisão por zero não é permitida. - Aqui
. Então devemos ter , ou seja .
Conclusão:
Passo 3
Verificar
(derivação passo a passo).
Relembrando a regra usada (Quociente):
- Se
com e diferenciáveis e , então
- Aqui
e .
Calcular
e
:
Aplicar a regra do quociente:
Agora simplificar o numerador passo a passo:
- Factor comum
no numerador (observe que ambos os termos têm um fator ):
- Expandir dentro dos colchetes:
Somando:
Logo o numerador fica
.
Colocando no quociente:
Simplificando um fator
entre numerador e denominador:
Portanto a fórmula pedida está verificada.
Passo 4
Definir pontos críticos e encontrá-los.
Definição didática:
- Pontos críticos (valores de
) são os pontos do domínio onde ou onde não existe (mas só contam se estiverem no domínio de ).
Resolver
:
Verificar onde
não existe:
não existe em
porque o denominador é zero, mas
NÃO pertence ao domínio de
. Então não entra como ponto crítico (pelo sentido usual de ponto crítico do gráfico de
— ponto deve estar no domínio).
Conclusão:
- O único ponto crítico em
é . - O ponto no plano é
. Calcular :
Logo o ponto crítico é
.
Passo 5
Estudar crescimento/decrescimento usando o sinal de
.
Lembrete didático:
- Onde
a função é crescente; onde é decrescente. - Como
, o sinal de é o produto do sinal de e do sinal de . O sinal de é o mesmo sinal de (porque o cubo preserva o sinal).
Pontos importantes para mudança de sinal:
- Zero do numerador:
. - Zero/indefinição do denominador:
(mas está fora do domínio).
Portanto particionamos a reta em três intervalos:, , .
Analisar o sinal em cada intervalo:
- Para
: e ⇒ produto é positivo ⇒ . Logo crescente em . - Para
: e ⇒ produto negativo ⇒ . Logo decrescente em . - Para
: e ⇒ produto positivo ⇒ . Logo crescente em .
Conclusão:
-
é crescente em . -
é decrescente em .
Observação útil (classificação do extremo em
):
- Como o sinal de
passa de positivo para negativo ao atravessar , é um ponto de máximo local. Confirmar com mais adiante.
Passo 6
Determinar intervalos de concavidade usando
.
Relembrando a teoria:
- Onde
o gráfico é côncavo para cima (segue como uma “tigela”); onde é côncavo para baixo (como um “morro”). - Note que
para todo . Portanto o sinal de é o sinal do numerador .
Resolver
:
Analisar o sinal de
:
- Para
: pegue como exemplo → ⇒ ⇒ côncava para cima. - Para
(mas ): ⇒ ⇒ côncava para baixo.
Lembrar de excluir
do domínio.
Conclusão:
-
é côncava para cima em . -
é côncava para baixo em .
Passo 7
Determinar pontos de inflexão.
Definição didática:
- Ponto de inflexão é um ponto do domínio onde a concavidade muda (ou seja,
muda de sinal). Costuma ocorrer onde ou onde é indefinida (se a mudança de sinal ocorrer).
Aqui
em
e verificamos que
troca de positivo para negativo ao atravessá-lo (Passo 6). Além disso
pertence ao domínio (
), logo é ponto de inflexão.
Calcular a ordenada correspondente:
Conclusão:
- Há um único ponto de inflexão em
.
Passo 8
Assíntotas horizontais.
Definição rápida:
- Asymptota horizontal existe se
ou é finito; esse limite é a ordenada da assíntota.
Calcular
. Uma maneira prática é dividir numerador e denominador por
:
Tomando
(ou
), os termos com
e
tendem a zero, restando
Portanto existe a assíntota horizontal
.
Informação extra útil sobre o sentido de aproximação:
- Escrever
. Para , o termo é negativo → aproximação por baixo ( ); para esse termo é positivo → aproximação por cima ( ). (Isto ajuda a desenhar o esboço.)
Passo 9
Assíntotas verticais.
Regra prática:
- Se
e para a racional , então é assíntota vertical (tendências a ).
Aqui
zero em
. Avaliar
. Logo
é assíntota vertical.
Determinar o comportamento lateral:
- Para
, o denominador (sempre positivo), e . Assim
em ambos os lados. Portanto próximo a
o gráfico vai para
tanto à direita quanto à esquerda.
Conclusão:
- Há uma assíntota vertical em
(ambos os limites laterais são ).
Passo 10
Reunir pontos importantes e orientar o esboço do gráfico (para a parte (i)).
Pontos e informações para marcar no esboço:
- Domínio:
. - Zeros de
: resolver → . Então pontos e . - Intercepto
(quando ): . Ponto . - Ponto crítico (máximo local):
. Neste ponto a função muda de crescente para decrescente. - Ponto de inflexão:
. - Assíntotas: vertical
; horizontal . - Comportamento perto da assíntota vertical:
quando . - Comportamento no infinito:
aproximando por baixo; aproximando por cima. - Concavidade: côncava para cima em
, côncava para baixo em e . - Crescimento/decrescimento (resumo): crescente em
até o máximo em , depois decresce até aproximar em , do outro lado de sai de e cresce para o limite horizontal .
Como esboçar na prática (passos para desenhar à mão, de forma simples):
- Desenhar as retas assíntotas: vertical
e horizontal . - Marcar zeros
e , intercepto em . - Marcar máximo local em
(o gráfico sobe até ali e depois desce). - Para
indo para , o gráfico decresce e vai para . - À direita de
, o gráfico vem de e sobe, cruzando possivelmente o eixo em (note que , então o zero está à esquerda da assíntota; verificar: de fato o zero fica antes de ). Corrigindo a leitura: os zeros e estão no ramo à esquerda de ; para o gráfico não cruza o eixo (chega a por baixo). - Usar a concavidade indicada para dar a curvatura do traço: à esquerda do
curvatura para cima; entre e curvatura para baixo; para curvatura para baixo também. - Lembre-se: para
o gráfico se aproxima de vindo por cima; para se aproxima de vindo por baixo.
Com esses pontos e comportamento você consegue desenhar um esboço consistente do gráfico.
Resposta
(a)
(b)
(c)
é crescente em
e decrescente em
(d) Ponto crítico:
, isto é o ponto
(e)
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
(f) Ponto de inflexão:
(g) Assíntota horizontal:
(h) Assíntota vertical:
(i) Esboço: marcar assíntotas
e
; zeros em
e
; intercepto
; máximo local em
; ponto de inflexão em
; gráfico vai para
quando
; aproxima
quando
(por cima à esquerda e por baixo à direita).