Determine as derivadas de cada função dada abaixo:
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x+\cos x}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x+\cos x}{\cos x}.
Para resolver, vamos usar duas ideias: primeiro simplificar a função por identidades trigonométricas e depois aplicar as regras de derivação (derivada de \tan x e de constante).

Passo 2

Usando a identidade \operatorname{sen} x/\cos x=\tan x e \cos x/\cos x=1, reescrevemos
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}=\tan x+1.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Sabemos que
\displaystyle\frac{d}{dx}[\tan x]=\operatorname{sec}^2 x,
\displaystyle\frac{d}{dx}[1]=0.
Logo,
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x+0=\operatorname{sec}^2 x.
Como \operatorname{sec} x=1/\cos x, também podemos escrever
f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.

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