Determine as derivadas de cada função dada abaixo:
f(x)=(1+\operatorname{cossec} x) \cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(1 + \csc x\bigr)\cos x.
O conteúdo principal envolve a regra do produto e a derivada de \csc x.

Passo 2

Definimos
u(x) = 1 + \csc x, \quad v(x) = \cos x.
Então, pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr) = -\csc x\cot x, \quad v'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) = \bigl(-\csc x\cot x\bigr)\cos x + \bigl(1 + \csc x\bigr)\bigl(-\sin x\bigr).

Passo 5

Agora simplificamos. Primeiro note que \csc x\cdot\cos x\,\cot x = \csc x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}\cdot\cos x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x, e que \csc x\sin x=1. Assim
f'(x) = -\cot^2 x \;-\;\sin x \;-\;1.

Resposta

f'(x) = -\sin x \;-\;1 \;-\;\cot^2 x.

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