Determine as derivadas de cada função dada abaixo:
f(x)=\operatorname{sec} x \operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sec} x\,\csc x.
Vamos usar a regra do produto e as derivadas básicas de funções trigonométricas.

Passo 2

Pela regra do produto, se u(x)=\operatorname{sec} x e v(x)=\csc x, então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

As derivadas elementares que vamos precisar são
(\operatorname{sec} x)' = \operatorname{sec} x\,\tan x, \qquad (\csc x)' = -\,\csc x\,\cot x.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =(\operatorname{sec} x)' \,\csc x + \operatorname{sec} x\,(\csc x)' =\operatorname{sec} x\,\tan x\;\csc x -\operatorname{sec} x\;\csc x\,\cot x.

Passo 5

Fatorando \operatorname{sec} x\,\csc x:
f'(x) =\operatorname{sec} x\,\csc x\,\bigl(\tan x-\cot x\bigr).

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec} x\,\csc x\,\bigl(\tan x-\cot x\bigr).

Exercícios relacionados