Determine as derivadas direcionais:
z=x^2 ln (1+x^2+y^2) em p=(1,1) e v=(1,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ z = x^{2} \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $ no ponto $ P = (1, 1) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = (1, 2) $. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e como elas se combinam para calcular a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a derivada direcional na direção de um vetor $ \mathbf{v} $, a gente precisa que esse vetor seja um vetor unitário. Isso quer dizer que a gente vai normalizar o vetor $ \mathbf{v} $. A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
A fórmula para normalizar um vetor $ \mathbf{v} = (v_x, v_y) $ é:
v
onde $ ||\mathbf{v}|| $ é o módulo do vetor, calculado por:
v

Passo 3

Vamos calcular o módulo do vetor $ \mathbf{v} = (1, 2) $:
v = (1, 2)
Agora, a gente normaliza o vetor $ \mathbf{v} $:
||v|| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
z
Em seguida, a derivada parcial em relação a $ y $:
x

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (1, 1) $.
Primeiro, para $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
P = (1, 1)
Depois, para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial x

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Du z = partial zpartial x cdot ux + partial zpartial y cdot uy
Substituindo os valores que encontramos:
Du z = (2 ln(3) + 23) cdot 1raiz5 + 23 cdot 2raiz5 = 2 ln(3) + 23 + 43raiz5 = 2 ln(3) + 2raiz5

Resposta

A derivada direcional de $ z $ no ponto $ (1, 1) $ na direção de $ \mathbf{v} = (1, 2) $ é:
z

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