Determine as derivadas direcionais:
em
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ z = x^{2} \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $ no ponto $ P = (1, 1) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = (1, 2) $. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e como elas se combinam para calcular a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a derivada direcional na direção de um vetor $ \mathbf{v} $, a gente precisa que esse vetor seja um vetor unitário. Isso quer dizer que a gente vai normalizar o vetor $ \mathbf{v} $. A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
A fórmula para normalizar um vetor $ \mathbf{v} = (v_x, v_y) $ é:
onde $ ||\mathbf{v}|| $ é o módulo do vetor, calculado por:
Passo 3
Vamos calcular o módulo do vetor $ \mathbf{v} = (1, 2) $:
Agora, a gente normaliza o vetor $ \mathbf{v} $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
Em seguida, a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (1, 1) $.
Primeiro, para $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Depois, para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada direcional de $ z $ no ponto $ (1, 1) $ na direção de $ \mathbf{v} = (1, 2) $ é: