Calcule as derivadas parciais das funções a seguir: z=x^3 y-e^x y^2
R: partial zpartial x=3 x^2 y-y^2 e^x y^2 ; partial zpartial y=x^3+2 x y e^x y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função z = x^3y - e^x y^2. O conteúdo é derivada parcial, e vamos precisar usar as regras de derivação (regra do produto e regra da cadeia) tratando a variável não derivada como constante.

Passo 2

Para encontrar partial zpartial x, tratamos y como constante. Dividimos z em duas partes: x^3y e -e^x y^2.

Passo 3

A derivada de x^3y em relação a x é 3x^2y (regra do coeficiente constante). A derivada de -e^x y^2 usa a regra da cadeia: derivada de e^u é e^ucdot u', com u = x y^2 e u' = y^2. Então fica -y^2e^x y^2. Somando os resultados temos:

Passo 4

Para encontrar partial zpartial y, tratamos x como constante. A derivada de x^3y em relação a y é x^3. Na parte -e^x y^2 aplicamos novamente a regra da cadeia: u = x y^2 e u' = 2xy, então a derivada é -2xy,e^x y^2. Somando os resultados obtemos:

Resposta

partial zpartial x=3x^2y - y^2e^x y^2; partial zpartial y=x^3 - 2xy,e^x y^2

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