Sejam f e g funções reais tais que:
f(5)=4, f^prime(5)=-1, g(5)=2, g^prime(4)=3 e g^prime(5)=2
  • Calcule:
    (f-g2 f+g)^prime(5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a derivada da função f - g2f + g no ponto x = 5. Estamos trabalhando com cálculo de derivadas, mais especificamente aplicando a Regra do Quociente. Pra resolver isso, vamos precisar das informações sobre as funções f e g nos pontos dados, tanto os valores das funções quanto suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Quociente. Se tivermos uma função h(x) = u(x)v(x), então a derivada h'(x) é dada por:
h'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
No nosso caso, u(x) = f(x) - g(x) e v(x) = 2f(x) + g(x). Então, precisamos calcular u'(x) e v'(x).

Passo 3

Vamos calcular u'(x) e v'(x):
  • u(x) = f(x) - g(x)
    • Então, u'(x) = f'(x) - g'(x)
  • v(x) = 2f(x) + g(x)
    • Então, v'(x) = 2f'(x) + g'(x)

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
(f - g2f + g)'(5) = [f'(5) - g'(5)] cdot [2f(5) + g(5)] - [f(5) - g(5)] cdot [2f'(5) + g'(5)][2f(5) + g(5)]^2

Passo 5

Vamos substituir os valores que foram dados:
  • f(5) = 4
  • f'(5) = -1
  • g(5) = 2
  • g'(5) = 2
Substituindo na expressão:
(f - g2f + g)'(5) = [-1 - 2] cdot [2 cdot 4 + 2] - [4 - 2] cdot [2 cdot (-1) + 2][2 cdot 4 + 2]^2

Passo 6

Agora, vamos simplificar passo a passo:
  1. Calcular cada parte:
    • f'(5) - g'(5) = -1 - 2 = -3
    • 2f(5) + g(5) = 2 cdot 4 + 2 = 8 + 2 = 10
    • f(5) - g(5) = 4 - 2 = 2
    • 2f'(5) + g'(5) = 2 cdot (-1) + 2 = -2 + 2 = 0
  2. Substituir de volta:
(-3) cdot 10 - 2 cdot 010^2 = -30 - 0100 = -30100
  1. Simplificar a fração:
-30100 = -0,3

Resposta

(f - g2f + g)^prime(5) = -0,3

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