Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{x^{3}+x-2}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{3}+x-2}{x^{2}}.
O conteúdo envolvido é a derivação de soma e potência. Vamos simplificar a função em potências de x para aplicar a regra \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Reescrevendo cada termo de f(x) como potência:
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}} =x^{1}+x^{-1}-2\,x^{-2}.

Passo 3

Derivamos termo a termo usando \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}:
  • \frac{d}{dx}x^{1}=1
  • \frac{d}{dx}x^{-1}=-1\,x^{-2}
  • \frac{d}{dx}(-2\,x^{-2})=-2\cdot(-2)\,x^{-3}=4\,x^{-3}
Logo,
f'(x)=1 - x^{-2} + 4\,x^{-3}.

Passo 4

Podemos juntar em uma única fração sobre x^{3}:
f'(x) =1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} =\frac{x^{3}-x+4}{x^{3}}.

Resposta

f'(x)=1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} \quad\text{ou}\quad f'(x)=\frac{x^{3}-x+4}{x^{3}}.

Exercícios relacionados