Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{x}{x+\frac{2}{x}};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x}{\,x+\frac{2}{x}\,}.
O conteúdo envolvido é derivada de função racional e vamos usar, na prática, a simplificação algébrica seguida da regra do quociente.

Passo 2

Primeiro simplificamos o denominador:
x+\frac{2}{x}=\frac{x^2+2}{x},
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f(x)=\frac{x}{\displaystyle\frac{x^2+2}{x}} =x\cdot\frac{x}{x^2+2} =\frac{x^2}{x^2+2}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente em
\displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u(x)=x^2 e v(x)=x^2+2.
Temos
u'(x)=2x, \quad v'(x)=2x,
e
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{2x\,(x^2+2)-x^2\cdot2x}{(x^2+2)^2}.

Passo 4

Simplificando o numerador:
2x\,(x^2+2)-2x\,x^2 =2x^3+4x-2x^3 =4x.
Portanto
f'(x)=\frac{4x}{(x^2+2)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{4x}{(x^2+2)^2}.

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