Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{x^{3}}{1-x^{2}};

Passo 1

O enunciado pede derivar a função
\,f(x)=\frac{x^{3}}{1 - x^{2}}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{3},\quad v(x)=1 - x^{2}.
Então
u'(x)=3x^{2},\quad v'(x)=-2x.
Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{3x^{2}(1 - x^{2}) - x^{3}(-2x)}{(1 - x^{2})^{2}}.

Passo 3

Expandindo e combinando termos no numerador:
3x^{2}(1 - x^{2}) + 2x^{4} =3x^{2} - 3x^{4} + 2x^{4} =3x^{2} - x^{4} = x^{2}(3 - x^{2}).
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f'(x) =\frac{3x^{2} - x^{4}}{(1 - x^{2})^{2}} =\frac{x^{2}(3 - x^{2})}{(1 - x^{2})^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{2}(3 - x^{2})}{(1 - x^{2})^{2}}.

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