Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=\operatorname{tg}^{2}(3 x);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\operatorname{tg}^{2}(3x) usando a regra da cadeia. Aqui o conteúdo é derivação de funções compostas e trigonométricas; vamos precisar saber que \frac{d}{dx}[\operatorname{tg}(u)]=\operatorname{sec}^{2}(u)\,u' e a regra da cadeia para composições.

Passo 2

Identificamos duas camadas de função composta: primeiro u(x)=\operatorname{tg}(3x) e depois f(x)=u(x)^{2}. Pela regra da cadeia,
f'(x)=2\,u(x)\cdot u'(x).

Passo 3

Agora derivamos u(x)=\operatorname{tg}(3x). Novamente é uma composição: v(x)=3x e \operatorname{tg}(v). Temos
\frac{d}{dx}[\operatorname{tg}(v)]=\operatorname{sec}^{2}(v)\,v',
logo, com v(x)=3x,
u'(x)=\operatorname{sec}^{2}(3x)\cdot\frac{d}{dx}[3x]=\operatorname{sec}^{2}(3x)\cdot3=3\,\operatorname{sec}^{2}(3x).

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x)=2\,u(x)\,u'(x), vem
f'(x)=2\,\operatorname{tg}(3x)\,\bigl(3\,\operatorname{sec}^{2}(3x)\bigr)=6\,\operatorname{tg}(3x)\,\operatorname{sec}^{2}(3x).

Resposta

f'(x)=6\,\operatorname{tg}(3x)\,\operatorname{sec}^{2}(3x).

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