Determine as derivadas parciais até a segunda ordem das funções:
f(x, y)=x^5+3 x^3 y^2+3 x y^4;

Passo 1

O exercício pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função f(x,y)=x^5+3x^3y^2+3xy^4. O conteúdo chave é diferenciação de funções de duas variáveis, aplicando as regras de derivação termo a termo, tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, derivamos em relação a x mantendo y como constante, e em relação a y mantendo x constante. Assim:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^5+3x^3y^2+3xy^4r)=5x^4+9x^2y^2+3y^4
fy(x,y)=partialpartial yl(x^5+3x^3y^2+3xy^4r)=6x^3y+12xy^3

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem. Derivando fx em relação a x e y, e derivando fy em relação a x e y:
fxx(x,y)=partialpartial xl(5x^4+9x^2y^2+3y^4r)=20x^3+18xy^2
fxy(x,y)=partialpartial yl(5x^4+9x^2y^2+3y^4r)=18x^2y+12y^3
fyx(x,y)=partialpartial xl(6x^3y+12xy^3r)=18x^2y+12y^3
fyy(x,y)=partialpartial yl(6x^3y+12xy^3r)=6x^3+36xy^2

Resposta

fx(x,y)=5x^4+9x^2y^2+3y^4
fy(x,y)=6x^3y+12xy^3
fxx(x,y)=20x^3+18xy^2
fxy(x,y)=18x^2y+12y^3
fyx(x,y)=18x^2y+12y^3
fyy(x,y)=6x^3+36xy^2

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