Considere o problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segundo grau com condições iniciais. O que temos aqui é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes:
Além disso, sabemos que:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares homogêneas, como encontrar as raízes da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, $ a = 2 $, $ b = 3 $ e $ c = -2 $. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com as raízes $ r_1 = \frac{1}{2} $ e $ r_2 = -2 $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 1 $:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada de $ y(t) $ para aplicar a segunda condição $ y’(0) = -\alpha $:
Aplicando $ t = 0 $:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2:
Podemos multiplicar a Equação 2 por 2 para facilitar:
Agora, subtraímos a Equação 1 da nova Equação 2:
Passo 8
Substituindo $ C_2 $ na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: