Considere o problema de valor inicial:
l 2 y^prime prime+3 y^prime-2 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=-alpha

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segundo grau com condições iniciais. O que temos aqui é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes:
2 y'' + 3 y' - 2 y = 0
Além disso, sabemos que:
y(0) = 1 e y'(0) = -alpha
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares homogêneas, como encontrar as raízes da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
a y'' + b y' + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, $ a = 2 $, $ b = 3 $ e $ c = -2 $. Então, a equação característica fica:
a = 2

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r
Substituindo os valores:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
r = -3 pm raiz3^2 - 4 cdot 2 cdot (-2)2 cdot 2 = -3 pm raiz9 + 164 = -3 pm raiz254
Então, temos duas soluções:
r = -3 pm 54
r1 = -3 + 54 = 24 = 12

Passo 4

Com as raízes $ r_1 = \frac{1}{2} $ e $ r_2 = -2 $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
r1 = 12
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 1 $:
y(0) = 1
Então, temos:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 1 çã

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de $ y(t) $ para aplicar a segunda condição $ y’(0) = -\alpha $:
y(t)
Aplicando $ t = 0 $:
y'(0) = -alpha
Então, temos:
y'(t) = 12 C1 e^12 t - 2 C2 e^-2 t çã

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2:
C1 + C2 = 1 12 C1 - 2 C2 = -alpha
Podemos multiplicar a Equação 2 por 2 para facilitar:
C1 - 4 C2 = -2alpha
Agora, subtraímos a Equação 1 da nova Equação 2:
(C1 - 4 C2) - (C1 + C2) = -2alpha - 1
-5 C2 = -2alpha - 1 implies C2 = 2alpha + 15

Passo 8

Substituindo $ C_2 $ na Equação 1:
C2

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(t) = 2(2 - alpha)5 , e^12 t + 2alpha + 15 , e^-2 t

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