Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de duas variáveis.
f(x, y)=5 x^{4} y^{2}-5 x y^{3}+6

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis e pede as derivadas parciais até segunda ordem. Dados fornecidos:
f(x,y)=5x^{4}y^{2}-5xy^{3}+6.
Perguntas explícitas a responder:
  • Calcular as derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Calcular as derivadas parciais de segunda ordem: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.

Passo 2

Lembrete didático: a derivada parcial em relação a x trata y como constante. A definição é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
mas na prática usamos as regras usuais de derivação aplicando a regra do poder (se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n x^{n-1}) e a linearidade da derivada. Vou derivar termo a termo mantendo y fixo.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Para o termo 5x^{4}y^{2}: como y^{2} é constante em relação a x, a derivada é 5\cdot(4x^{3})\cdot y^{2}=20x^{3}y^{2}.
  • Para o termo -5xy^{3}: y^{3} é constante, a derivada de -5x é -5, logo o termo dá -5y^{3}.
  • Para a constante 6: derivada é 0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=20x^{3}y^{2}-5y^{3}.

Passo 4

Agora calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}. A derivada parcial em relação a y trata x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Usando regras de potência e linearidade, derivo termo a termo mantendo x fixo.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Para 5x^{4}y^{2}: x^{4} é constante, derivada de y^{2} é 2y, então o termo dá 5x^{4}\cdot 2y = 10x^{4}y.
  • Para -5xy^{3}: -5x é constante, derivada de y^{3} é 3y^{2}, então o termo dá -5x\cdot 3y^{2} = -15x y^{2}.
  • Para a constante 6: derivada 0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=10x^{4}y-15x y^{2}.

Passo 6

Agora as derivadas de segunda ordem. Definições e planejamento:
\begin{aligned} f_{xx}&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),& f_{xy}&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\\[4pt] f_{yx}&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right),& f_{yy}&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right). \end{aligned}
Se as derivadas de classe adequada (contínuas), espera-se f_{xy}=f_{yx} (teorema de Clairaut). Vou calcular cada uma explicitamente.]

Passo 7

Calcular f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(20x^{3}y^{2}-5y^{3}\big).
  • Derivando 20x^{3}y^{2} em relação a x: y^{2} é constante, derivada de 20x^{3} é 60x^{2}, logo 60x^{2}y^{2}.
  • Derivando -5y^{3} em relação a x: como não depende de x, dá 0.
Portanto
f_{xx}(x,y)=60x^{2}y^{2}.

Passo 8

Calcular f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(20x^{3}y^{2}-5y^{3}\big).
  • Derivando 20x^{3}y^{2} em relação a y: 20x^{3} é constante, derivada de y^{2} é 2y, então 20x^{3}\cdot 2y=40x^{3}y.
  • Derivando -5y^{3} em relação a y: -5\cdot 3y^{2}=-15y^{2}.
Portanto
f_{xy}(x,y)=40x^{3}y-15y^{2}.

Passo 9

Calcular f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(10x^{4}y-15x y^{2}\big).
  • Derivando 10x^{4}y em relação a x: y é constante, derivada de 10x^{4} é 40x^{3}, então 40x^{3}y.
  • Derivando -15x y^{2} em relação a x: -15y^{2} (pois derivada de -15x é -15).
Portanto
f_{yx}(x,y)=40x^{3}y-15y^{2}.
Observação: confirma-se f_{xy}=f_{yx}.

Passo 10

Calcular f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(10x^{4}y-15x y^{2}\big).
  • Derivando 10x^{4}y em relação a y: 10x^{4} é constante, derivada de y é 1, então 10x^{4}.
  • Derivando -15x y^{2} em relação a y: -15x é constante, derivada de y^{2} é 2y, então -15x\cdot 2y = -30x y.
Portanto
f_{yy}(x,y)=10x^{4}-30x y.

Resposta

\displaystyle f_{x}=20x^{3}y^{2}-5y^{3}\n
\displaystyle f_{y}=10x^{4}y-15x y^{2}\n
\displaystyle f_{xx}=60x^{2}y^{2}\n
\displaystyle f_{xy}=40x^{3}y-15y^{2}\n
\displaystyle f_{yx}=40x^{3}y-15y^{2}\n
\displaystyle f_{yy}=10x^{4}-30x y

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