Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis e pede as derivadas parciais até segunda ordem. Dados fornecidos:
Perguntas explícitas a responder:
- Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
e . - Calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
, , e .
Passo 2
Lembrete didático: a derivada parcial em relação a
trata
como constante. A definição é
mas na prática usamos as regras usuais de derivação aplicando a regra do poder (se
, então
) e a linearidade da derivada. Vou derivar termo a termo mantendo
fixo.
Passo 3
Calcular
.
- Para o termo
: como é constante em relação a , a derivada é . - Para o termo
: é constante, a derivada de é , logo o termo dá . - Para a constante
: derivada é .
Portanto
Passo 4
Agora calcular
. A derivada parcial em relação a
trata
como constante:
Usando regras de potência e linearidade, derivo termo a termo mantendo
fixo.
Passo 5
Calcular
.
- Para
: é constante, derivada de é , então o termo dá . - Para
: é constante, derivada de é , então o termo dá . - Para a constante
: derivada .
Portanto
Passo 6
Agora as derivadas de segunda ordem. Definições e planejamento:
Se as derivadas de classe adequada (contínuas), espera-se
(teorema de Clairaut). Vou calcular cada uma explicitamente.]
Passo 7
Calcular
.
- Derivando
em relação a : é constante, derivada de é , logo . - Derivando
em relação a : como não depende de , dá .
Portanto
Passo 8
Calcular
.
- Derivando
em relação a : é constante, derivada de é , então . - Derivando
em relação a : .
Portanto
Passo 9
Calcular
.
- Derivando
em relação a : é constante, derivada de é , então . - Derivando
em relação a : (pois derivada de é ).
Portanto
Observação: confirma-se
.
Passo 10
Calcular
.
- Derivando
em relação a : é constante, derivada de é , então . - Derivando
em relação a : é constante, derivada de é , então .
Portanto