Questão 8. Para a série \sum_{n=3}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{5^{n}}. (a) Verifique se a série converge. (b) Calcule a soma exata S , se a série for convergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{5^{n}}
e pede duas coisas:
(a) verificar se a série converge;
(b) se convergir, calcular a soma exata S.
Informações relevantes fornecidas:
O somatório começa em n=3.
O termo geral é \dfrac{3^{n-1}}{5^{n}}.
Não há mais condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Transformar o termo geral para reconhecê-lo como uma série geométrica (ou uma combinação simples dela). Tomo o termo geral e manipulo algebricamente:
Aqui identifiquei um fator constante \dfrac{1}{3} multiplicando uma série cujos termos são potências de r=\dfrac{3}{5}.
Passo 3
Explicar o que é uma série geométrica e seu critério de convergência (aula rápida):
Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n},
onde a é o primeiro termo (quando n=0) e r é a razão comum.
Essa série converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\frac{a}{1-r}.
Breve derivação da fórmula (útil para prova): para S_N=\sum_{n=0}^{N}ar^{n} temos
(1-r)S_N = a - ar^{N+1},
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S_N = \frac{a(1-r^{N+1})}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, e assim S=\lim_{N\to\infty}S_N=\dfrac{a}{1-r}.
Passo 4
Aplicar o critério ao nosso caso. Na expressão obtida em
Passo 5
r=\frac{3}{5}.
Como \left|\dfrac{3}{5}\right|=\dfrac{3}{5}<1, a série geométrica converge. Então a série original converge (porque é \dfrac{1}{3} vezes uma série geométrica convergente).
Isto responde a parte (a): a série converge.
Passo 6
Calcular a soma exata S. Posso usar a forma de soma da cauda da geométrica. Uma forma direta é notar que
Resumo final e incentivo: concluímos que a série converge porque pode ser escrita como uma geométrica com razão \dfrac{3}{5} (menor que 1 em módulo) e sua soma exata é \dfrac{9}{50}. Bom trabalho — essa técnica de reconhecer e reescrever termos para identificar uma geométrica volta sempre em provas e exercícios!