Questão 8. Para a série \sum_{n=3}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{5^{n}}. (a) Verifique se a série converge. (b) Calcule a soma exata S , se a série for convergente.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{5^{n}}
e pede duas coisas:
  • (a) verificar se a série converge;
  • (b) se convergir, calcular a soma exata S.
Informações relevantes fornecidas:
  • O somatório começa em n=3.
  • O termo geral é \dfrac{3^{n-1}}{5^{n}}.
  • Não há mais condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Transformar o termo geral para reconhecê-lo como uma série geométrica (ou uma combinação simples dela). Tomo o termo geral e manipulo algebricamente:
\frac{3^{n-1}}{5^{n}}=\frac{3^{n}}{3}\cdot\frac{1}{5^{n}}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Portanto a série pode ser escrita como
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{3^{n-1}}{5^{n}}=\frac{1}{3}\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Aqui identifiquei um fator constante \dfrac{1}{3} multiplicando uma série cujos termos são potências de r=\dfrac{3}{5}.

Passo 3

Explicar o que é uma série geométrica e seu critério de convergência (aula rápida):
  • Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n},
onde a é o primeiro termo (quando n=0) e r é a razão comum.
  • Essa série converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\frac{a}{1-r}.
Breve derivação da fórmula (útil para prova): para S_N=\sum_{n=0}^{N}ar^{n} temos
(1-r)S_N = a - ar^{N+1},
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S_N = \frac{a(1-r^{N+1})}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, e assim S=\lim_{N\to\infty}S_N=\dfrac{a}{1-r}.

Passo 4

Aplicar o critério ao nosso caso. Na expressão obtida em

Passo 5

r=\frac{3}{5}.
Como \left|\dfrac{3}{5}\right|=\dfrac{3}{5}<1, a série geométrica converge. Então a série original converge (porque é \dfrac{1}{3} vezes uma série geométrica convergente).
Isto responde a parte (a): a série converge.

Passo 6

Calcular a soma exata S. Posso usar a forma de soma da cauda da geométrica. Uma forma direta é notar que
\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}=\frac{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}}{1-\dfrac{3}{5}},
porque a soma da série geométrica começando em n=k é r^{k}/(1-r) quando |r|<1. Então, lembrando do fator \dfrac{1}{3},
S=\frac{1}{3}\cdot\frac{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}}{1-\dfrac{3}{5}}.
Faço as contas passo a passo:
\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{27}{125}, \qquad 1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}.
Então
S=\frac{1}{3}\cdot\frac{\dfrac{27}{125}}{\dfrac{2}{5}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{125}\cdot\frac{5}{2}.
Simplificando:
\frac{27}{125}\cdot\frac{5}{2}=\frac{27}{25}\cdot\frac{1}{2}=\frac{27}{50},
e então
S=\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{50}=\frac{9}{50}.
Verificação alternativa curta: calcular o primeiro termo direto a_3 e usar S=\dfrac{a_3}{1-r}. O primeiro termo é
a_3=\frac{3^{3-1}}{5^{3}}=\frac{9}{125},
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S=\frac{a_3}{1-r}=\frac{\dfrac{9}{125}}{1-\dfrac{3}{5}}=\frac{\dfrac{9}{125}}{\dfrac{2}{5}}=\frac{9}{50},
mesmo resultado.

Passo 7

Resumo final e incentivo: concluímos que a série converge porque pode ser escrita como uma geométrica com razão \dfrac{3}{5} (menor que 1 em módulo) e sua soma exata é \dfrac{9}{50}. Bom trabalho — essa técnica de reconhecer e reescrever termos para identificar uma geométrica volta sempre em provas e exercícios!

Resposta

(a) A série converge.
(b) S=\dfrac{9}{50}

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