Questão 9. (a) Mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)} converge pelo Teste da Série Alternada. (b) Qual é o menor n tal que S_{n} aproxima S com erro menor que 0,01 ? (c) Calcule S_{n} encontrado em (b).

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}
e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que a série converge pelo Teste da Série Alternada.
  • (b) Encontrar o menor n tal que S_{n} aproxima a soma S com erro menor que 0,01.
  • (c) Calcular S_{n} encontrado em (b).
As informações relevantes que temos direto do enunciado são os termos gerais da série \dfrac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)} para n=1,2,\dots. A estratégia será: verificar as hipóteses do Teste da Série Alternada (sinais alternados, termos positivos em módulo, decrescentes e tendendo a zero), aplicar o teorema do erro para séries alternadas para achar n em (b), e calcular o somatório parcial pedido em (c).

Passo 2

Definir o termo positivo associado: seja
a_n=\frac{1}{n(n+1)}.
Para aplicar o Teste da Série Alternada (também chamado de teste de Leibniz) precisamos verificar três coisas sobre a_n:
  1. a_n>0 para todo n.
  2. a_{n+1}\le a_n (sequência a_n decrescente para n grande o suficiente, aqui para todo n\ge1).
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=0.
Vou checar cada uma.

Passo 3

Verificações:
  1. Positividade: para todo n\ge1 temos n(n+1)>0, logo \displaystyle a_n=\frac{1}{n(n+1)}>0.
  2. Monotonicidade (decrescente): comparar a_{n+1} e a_n:
a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)},\qquad a_n=\frac{1}{n(n+1)}.
Como (n+1)(n+2)>n(n+1) para todo n\ge1, segue que
a_{n+1}<a_n.
Portanto a_n é estritamente decrescente.
3. Limite nulo:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n(n+1)} = 0,
porque o denominador cresce sem limite.
Como as três hipóteses do Teste da Série Alternada estão satisfeitas, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}
é convergente pelo Teste da Série Alternada.

Passo 4

Agora o teorema do erro para séries alternadas: se uma série alternada tem termos a_n>0 decrescentes e a_n\to0, então o resto após n termos, R_n=S-S_n, satisfaz
|R_n|\le a_{n+1}.
Isto significa que o erro absoluto ao aproximar a soma S pela soma parcial S_n é no máximo o próximo termo em módulo, a_{n+1}. Vamos usar essa desigualdade para determinar n tal que |R_n|<0,01.

Passo 5

Aplicar a desigualdade do erro:
|R_n|\le a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}<0,01.
Resolver a desigualdade:
\frac{1}{(n+1)(n+2)}<0,01 \quad\Longleftrightarrow\quad (n+1)(n+2)>100.
Expandindo:
n^2+3n+2>100\quad\Longleftrightarrow\quad n^2+3n-98>0.
Resolver n^2+3n-98=0. O discriminante é
\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-98)=9+392=401,
logo a raiz positiva é
\frac{-3+\sqrt{401}}{2}\approx\frac{-3+20{,}024984}{2}\approx8{,}5125.
A desigualdade n^2+3n-98>0 ocorre para n>\dfrac{-3+\sqrt{401}}{2}. O menor inteiro n que satisfaz é n=9.
Checagem por substituição:
  • Para n=8: a_{9}=\dfrac{1}{9\cdot10}=\dfrac{1}{90}\approx0{,}01111>0{,}01 (não serve).
  • Para n=9: a_{10}=\dfrac{1}{10\cdot11}=\dfrac{1}{110}\approx0{,}00909<0{,}01 (serve).
Portanto o menor n pedido é n=9.

Passo 6

Calcular S_9, ou seja
S_9=\sum_{k=1}^{9}\frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)}.
É prático somar termo a termo (cada termo em forma de fração) com cuidado:
Os termos são
\begin{aligned} k=1&:\\\ +\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{2},\\\ k=2&:\\\ -\frac{1}{2\cdot3}=-\frac{1}{6},\\\ k=3&:\\\ +\frac{1}{3\cdot4}=\frac{1}{12},\\\ k=4&:\\\ -\frac{1}{4\cdot5}=-\frac{1}{20},\\\ k=5&:\\\ +\frac{1}{5\cdot6}=\frac{1}{30},\\\ k=6&:\\\ -\frac{1}{6\cdot7}=-\frac{1}{42},\\\ k=7&:\\\ +\frac{1}{7\cdot8}=\frac{1}{56},\\\ k=8&:\\\ -\frac{1}{8\cdot9}=-\frac{1}{72},\\\ k=9&:\\\ +\frac{1}{9\cdot10}=\frac{1}{90}. \end{aligned}
Somando sequencialmente (fazendo as operações com frações exatas):
\begin{aligned} \frac{1}{2}-\frac{1}{6}&=\frac{1}{3},\\\ \frac{1}{3}+\frac{1}{12}&=\frac{5}{12},\\\ \frac{5}{12}-\frac{1}{20}&=\frac{11}{30},\\\ \frac{11}{30}+\frac{1}{30}&=\frac{2}{5},\\\ \frac{2}{5}-\frac{1}{42}&=\frac{79}{210},\\\ \frac{79}{210}+\frac{1}{56}&=\frac{331}{840},\\\ \frac{331}{840}-\frac{1}{72}&=\frac{1916}{5040},\\\ \frac{1916}{5040}+\frac{1}{90}&=\frac{1972}{5040}. \end{aligned}
Simplificando \dfrac{1972}{5040} por 4 obtemos
S_9=\frac{493}{1260}\approx0{,}39126984.

Passo 7

Observação final (útil para conferir): a soma infinita tem valor fechado
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}=2\ln2-1\approx0{,}38629436,
portanto o erro |S-S_9|\approx|0{,}38629436-0{,}39126984|\approx0{,}00497548<0{,}01, confirmando que n=9 é suficiente.

Resposta

(a) Converge pelo Teste da Série Alternada.
(b) n=9
(c) S_{9}=\dfrac{493}{1260}\approx0{,}39126984

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