Questão 9. (a) Mostre que a série
converge pelo Teste da Série Alternada. (b) Qual é o menor
tal que
aproxima
com erro menor que 0,01 ? (c) Calcule
encontrado em (b).
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede três coisas:
- (a) Mostrar que a série converge pelo Teste da Série Alternada.
- (b) Encontrar o menor
tal que aproxima a soma com erro menor que . - (c) Calcular
encontrado em (b).
As informações relevantes que temos direto do enunciado são os termos gerais da série
para
. A estratégia será: verificar as hipóteses do Teste da Série Alternada (sinais alternados, termos positivos em módulo, decrescentes e tendendo a zero), aplicar o teorema do erro para séries alternadas para achar
em (b), e calcular o somatório parcial pedido em (c).
Passo 2
Definir o termo positivo associado: seja
Para aplicar o Teste da Série Alternada (também chamado de teste de Leibniz) precisamos verificar três coisas sobre
:
-
para todo . -
(sequência decrescente para grande o suficiente, aqui para todo ). -
.
Vou checar cada uma.
Passo 3
Verificações:
- Positividade: para todo
temos , logo . - Monotonicidade (decrescente): comparar
e :
Como
para todo
, segue que
Portanto
é estritamente decrescente.
3. Limite nulo:
3. Limite nulo:
porque o denominador cresce sem limite.
Como as três hipóteses do Teste da Série Alternada estão satisfeitas, concluímos que a série
é convergente pelo Teste da Série Alternada.
Passo 4
Agora o teorema do erro para séries alternadas: se uma série alternada tem termos
decrescentes e
, então o resto após
termos,
, satisfaz
Isto significa que o erro absoluto ao aproximar a soma
pela soma parcial
é no máximo o próximo termo em módulo,
. Vamos usar essa desigualdade para determinar
tal que
.
Passo 5
Aplicar a desigualdade do erro:
Resolver a desigualdade:
Expandindo:
Resolver
. O discriminante é
logo a raiz positiva é
A desigualdade
ocorre para
. O menor inteiro
que satisfaz é
.
Checagem por substituição:
- Para
: (não serve). - Para
: (serve).
Portanto o menor
pedido é
.
Passo 6
Calcular
, ou seja
É prático somar termo a termo (cada termo em forma de fração) com cuidado:
Os termos são
Somando sequencialmente (fazendo as operações com frações exatas):
Simplificando
por
obtemos
Passo 7
Observação final (útil para conferir): a soma infinita tem valor fechado
portanto o erro
, confirmando que
é suficiente.
Resposta
(a) Converge pelo Teste da Série Alternada.
(b)
(c)
(b)
(c)