Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede: calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem (ou seja,
,
,
,
,
— e também
, que deve coincidir com a mista anterior quando a função for suficientemente suave).\n\nInformações relevantes que vamos usar: a expressão
para variáveis reais é normalmente tratada como
, então é necessário que
para trabalhar com
no caso real. Considerar
torna todas as funções envolvidas bem definidas e diferenciáveis.
Passo 2
Estratégia e justificativa (fórmula que vamos usar).\n\nPara derivar
como função de duas variáveis é muito útil reescrever
Aqui define-se
e
. Vamos aplicar a regra da cadeia: se
então
e
. Lembre: em derivadas parciais, ao derivar em relação a uma variável a outra é tratada como constante.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
.\n\nPrimeiro achamos
. Como
e
é constante quando derivamos em
,
Aplicando a regra da cadeia:
Como
, obtemos a forma mais simples
Explicação do passo: ao derivar
em relação a
mantenho
fixo e uso o fato de que a função é
; o fator
vem do produto
e
é a derivada de
.
Passo 4
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
.\n\nAgora
porque
e
é tratado como constante em
. Pela regra da cadeia:
Comentário: aqui ao derivar em
vemos diretamente o logaritmo aparecer: o crescimento de
em
é proporcional a
.
Passo 5
Calcular a derivada parcial de segunda ordem
.\n\nPartimos de
. Ao derivar novamente em
(tratando
como constante) usamos a regra de potência para expoente que pode ser não inteiro: se
então
. Aqui o expoente é
, então
Observação:
é apenas um coeficiente constante na diferenciação em
.
Passo 6
Calcular a derivada parcial mista
(primeiro em
, depois em
).\n\nUsamos
e derivamos em
(agora
é tratado como constante). Aplicamos a regra do produto:
Para
usamos a fórmula
. Aqui
e
, então
Portanto
Passo 7
Verificação da mista em ordem trocada e cálculo de
.\n\nVerificação rápida: calculando a mista na ordem
. Como
, aplicando
(tratando
constante) pela regra do produto:
Aqui
e
. Logo
que coincide com o resultado do passo anterior, provando a igualdade das mistas (esperada para funções
no domínio
).\n\nAgora
: partimos de
. Ao derivar em
,
é constante, e
. Assim