Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de duas variáveis.
z=x^{y}

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis z=x^{y} e pede: calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem (ou seja, \partial z/\partial x, \partial z/\partial y, \partial^2 z/\partial x^2, \partial^2 z/\partial x\partial y, \partial^2 z/\partial y^2 — e também \partial^2 z/\partial y\partial x, que deve coincidir com a mista anterior quando a função for suficientemente suave).\n\nInformações relevantes que vamos usar: a expressão x^{y} para variáveis reais é normalmente tratada como \exp(y\ln x), então é necessário que x>0 para trabalhar com \ln x no caso real. Considerar x>0 torna todas as funções envolvidas bem definidas e diferenciáveis.

Passo 2

Estratégia e justificativa (fórmula que vamos usar).\n\nPara derivar x^{y} como função de duas variáveis é muito útil reescrever
z = x^{y} = e^{y\ln x}.
Aqui define-se u(x,y)=y\ln x e z=e^{u}. Vamos aplicar a regra da cadeia: se z=e^{u} então \partial z/\partial x = e^{u}\,\partial u/\partial x e \partial z/\partial y = e^{u}\,\partial u/\partial y. Lembre: em derivadas parciais, ao derivar em relação a uma variável a outra é tratada como constante.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x.\n\nPrimeiro achamos \partial u/\partial x. Como u(x,y)=y\ln x e y é constante quando derivamos em x,
\frac{\partial u}{\partial x} = y\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) = y\cdot\frac{1}{x}.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = e^{y\ln x}\cdot\frac{y}{x}.
Como e^{y\ln x}=x^{y}, obtemos a forma mais simples
\frac{\partial z}{\partial x} = y\,x^{y-1}.
Explicação do passo: ao derivar x^{y} em relação a x mantenho y fixo e uso o fato de que a função é e^{y\ln x}; o fator y vem do produto y\ln x e 1/x é a derivada de \ln x.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a y.\n\nAgora \partial u/\partial y = \ln x porque u=y\ln x e \ln x é tratado como constante em y. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = e^{y\ln x}\cdot\ln x = x^{y}\ln x.
Comentário: aqui ao derivar em y vemos diretamente o logaritmo aparecer: o crescimento de x^{y} em y é proporcional a \ln x.

Passo 5

Calcular a derivada parcial de segunda ordem \partial^2 z/\partial x^2.\n\nPartimos de \partial z/\partial x = y\,x^{y-1}. Ao derivar novamente em x (tratando y como constante) usamos a regra de potência para expoente que pode ser não inteiro: se f(x)=x^{a} então f'(x)=a x^{a-1}. Aqui o expoente é y-1, então
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\big(y\,x^{y-1}\big) = y\cdot (y-1)\,x^{y-2}.
Observação: y é apenas um coeficiente constante na diferenciação em x.

Passo 6

Calcular a derivada parcial mista \partial^2 z/\partial x\partial y (primeiro em x, depois em y).\n\nUsamos \partial z/\partial x = y\,x^{y-1} e derivamos em y (agora x é tratado como constante). Aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y\,x^{y-1}\big) = 1\cdot x^{y-1} + y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{y-1}\big).
Para \partial/\partial y\big(x^{y-1}\big) usamos a fórmula \partial/\partial y\, x^{f(y)} = x^{f(y)}\ln x\cdot f'(y). Aqui f(y)=y-1 e f'(y)=1, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{y-1}\big)=x^{y-1}\ln x.
Portanto
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = x^{y-1} + y\,x^{y-1}\ln x = x^{y-1}\big(1 + y\ln x\big).

Passo 7

Verificação da mista em ordem trocada e cálculo de \partial^2 z/\partial y^2.\n\nVerificação rápida: calculando a mista na ordem \partial/\partial x(\partial z/\partial y). Como \partial z/\partial y = x^{y}\ln x, aplicando \partial/\partial x (tratando y constante) pela regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{y}\ln x\big) = \big(\frac{\partial}{\partial x}x^{y}\big)\ln x + x^{y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(\ln x).
Aqui \partial x^{y}/\partial x = y x^{y-1} e \partial(\ln x)/\partial x = 1/x. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{y}\ln x\big) = y x^{y-1}\ln x + x^{y}\cdot\frac{1}{x} = x^{y-1}\big(y\ln x + 1\big),
que coincide com o resultado do passo anterior, provando a igualdade das mistas (esperada para funções C^2 no domínio x>0).\n\nAgora \partial^2 z/\partial y^2: partimos de \partial z/\partial y = x^{y}\ln x. Ao derivar em y, \ln x é constante, e \partial x^{y}/\partial y = x^{y}\ln x. Assim
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{y}\ln x\big) = \big(\frac{\partial}{\partial y}x^{y}\big)\ln x = x^{y}(\ln x)^2.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=y\,x^{y-1}\n\n \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=x^{y}\ln x\n\n \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=y(y-1)\,x^{y-2}\n\n \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=x^{y-1}\big(1+y\ln x\big)\n\n \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=x^{y-1}\big(1+y\ln x\big)\n\n \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=x^{y}(\ln x)^2

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