Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função de duas variáveis
Informações que o enunciado dá:
- A função é
definida por . - Para a função estar definida, o argumento do log deve ser positivo:
(essa é a condição do domínio onde vamos calcular derivadas).
O que preciso entregar:
- As derivadas parciais de primeira ordem
e . - As derivadas parciais de segunda ordem
.
Passo 2
Vou explicar o conceito essencial que vou usar: derivada de uma composição com
.
- Se
e é diferenciável, então, pela regra da cadeia,
Aqui a ideia é a mesma, só que aplicando derivadas parciais: ao derivar
em relação a uma variável, trata-se a outra como constante e usa-se
Também vou usar a regra do quociente (quando for necessário): se
então
Passo 3
Defino a função auxiliar
. Isso facilita a aplicação da regra da cadeia.
Calculo as derivadas parciais de :
Calculo as derivadas parciais de
Passo 4
Agora as derivadas parciais de primeira ordem de
, usando a regra da cadeia explicada:
(Dou ideia: estas expressões vêm da derivada de
com
definida acima; ao derivar em
tratamos
constante, e ao derivar em
tratamos
constante.)
Passo 5
Para as segundas derivadas, explico a estratégia: posso derivar novamente
em relação a
e
, e derivar
em relação a
e
. Uso a regra do quociente quando derivo razões. Relembre a regra do quociente (para funções de
com
tratado como constante):
Passo 6
Cálculo de
. Parto de
com
e
.
Aplicando a regra do quociente derivando em (aqui
é constante):
Aplicando a regra do quociente derivando em
Agora substituo:
e
. Assim
Substituindo
e simplificando o numerador:
Portanto
Passo 7
Cálculo de
(derivar
em relação a
). Parto de
. Agora derivando em
(aqui
é constante):
aplico o quociente com e
:
aplico o quociente com
Calculando o numerador:
Logo
Passo 8
Cálculo de
. Parto de
. Derivando em
(com
constante) uso a regra do quociente:
Como
, obtemos
Passo 9
Cálculo de
(derivar
em relação a
) só para confirmar a igualdade mútua das derivadas mistas. Parto de
e derivo em
:
Portanto
. Isso está de acordo com o teorema de Clairaut (derivadas mistas iguais quando as segundas derivadas são contínuas no domínio considerado).