Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de duas variáveis.
f(x, y)=\ln \left(x y+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função de duas variáveis
f(x,y)=\ln\!\big(xy+x^{2}\big).
Informações que o enunciado dá:
  • A função é f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=\ln\!\big(xy+x^{2}\big).
  • Para a função estar definida, o argumento do log deve ser positivo: xy+x^{2}>0 (essa é a condição do domínio onde vamos calcular derivadas).
O que preciso entregar:
  • As derivadas parciais de primeira ordem \,f_x e f_y.
  • As derivadas parciais de segunda ordem \,f_{xx},\,f_{xy},\,f_{yx},\,f_{yy}.

Passo 2

Vou explicar o conceito essencial que vou usar: derivada de uma composição com \ln.
  • Se g(t)=\ln(u(t)) e u é diferenciável, então, pela regra da cadeia,
g'(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}.
Aqui a ideia é a mesma, só que aplicando derivadas parciais: ao derivar f(x,y)=\ln\!\big(u(x,y)\big) em relação a uma variável, trata-se a outra como constante e usa-se
\frac{\partial}{\partial x}\ln\!\big(u(x,y)\big)=\frac{1}{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\ln\!\big(u(x,y)\big)=\frac{1}{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial y}.
Também vou usar a regra do quociente (quando for necessário): se h(v)=\dfrac{p(v)}{q(v)} então
h'(v)=\frac{p'(v)q(v)-p(v)q'(v)}{q(v)^2}.

Passo 3

Defino a função auxiliar u(x,y)=xy+x^{2}. Isso facilita a aplicação da regra da cadeia.
Calculo as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=u_x=y+2x, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=u_y=x.

Passo 4

Agora as derivadas parciais de primeira ordem de f, usando a regra da cadeia explicada:
f_x=\frac{u_x}{u}=\frac{y+2x}{xy+x^{2}}, \qquad f_y=\frac{u_y}{u}=\frac{x}{xy+x^{2}}.
(Dou ideia: estas expressões vêm da derivada de \ln(u) com u definida acima; ao derivar em x tratamos y constante, e ao derivar em y tratamos x constante.)

Passo 5

Para as segundas derivadas, explico a estratégia: posso derivar novamente f_x em relação a x e y, e derivar f_y em relação a x e y. Uso a regra do quociente quando derivo razões. Relembre a regra do quociente (para funções de x com y tratado como constante):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.

Passo 6

Cálculo de f_{xx}. Parto de f_x=\dfrac{y+2x}{u} com u=xy+x^{2} e u_x=y+2x.
Aplicando a regra do quociente derivando em x (aqui y é constante):
f_{xx}=\frac{(y+2x)'_x\cdot u - (y+2x)\cdot u_x}{u^{2}}.
Agora substituo: (y+2x)'_x=2 e u_x=y+2x. Assim
f_{xx}=\frac{2u-(y+2x)(y+2x)}{u^{2}}=\frac{2u-(y+2x)^{2}}{u^{2}}.
Substituindo u=xy+x^{2} e simplificando o numerador:
2(xy+x^{2})-(y+2x)^{2}=2xy+2x^{2}-(y^{2}+4xy+4x^{2})=-(y^{2}+2xy+2x^{2}).
Portanto
f_{xx}=-\frac{y^{2}+2xy+2x^{2}}{(xy+x^{2})^{2}}.

Passo 7

Cálculo de f_{xy} (derivar f_x em relação a y). Parto de f_x=\dfrac{y+2x}{u}. Agora derivando em y (aqui x é constante):
aplico o quociente com (y+2x)'_y=1 e u_y=x:
f_{xy}=\frac{1\cdot u-(y+2x)\cdot x}{u^{2}}=\frac{u-x(y+2x)}{u^{2}}.
Calculando o numerador:
u-x(y+2x)=(xy+x^{2})-(xy+2x^{2})=-x^{2}.
Logo
f_{xy}=-\frac{x^{2}}{(xy+x^{2})^{2}}.

Passo 8

Cálculo de f_{yy}. Parto de f_y=\dfrac{x}{u}. Derivando em y (com x constante) uso a regra do quociente:
f_{yy}=\frac{0\cdot u - x\cdot u_y}{u^{2}}=-\frac{x\,u_y}{u^{2}}.
Como u_y=x, obtemos
f_{yy}=-\frac{x^{2}}{(xy+x^{2})^{2}}.

Passo 9

Cálculo de f_{yx} (derivar f_y em relação a x) só para confirmar a igualdade mútua das derivadas mistas. Parto de f_y=\dfrac{x}{u} e derivo em x:
f_{yx}=\frac{1\cdot u - x\cdot u_x}{u^{2}}=\frac{u-x(y+2x)}{u^{2}}=\frac{-x^{2}}{u^{2}}.
Portanto f_{yx}=f_{xy}=-\dfrac{x^{2}}{(xy+x^{2})^{2}}. Isso está de acordo com o teorema de Clairaut (derivadas mistas iguais quando as segundas derivadas são contínuas no domínio considerado).

Resposta

f_x=\dfrac{y+2x}{xy+x^{2}}
f_y=\dfrac{x}{xy+x^{2}}
f_{xx}=-\dfrac{y^{2}+2xy+2x^{2}}{(xy+x^{2})^{2}}
f_{xy}=-\dfrac{x^{2}}{(xy+x^{2})^{2}}
f_{yx}=-\dfrac{x^{2}}{(xy+x^{2})^{2}}
f_{yy}=-\dfrac{x^{2}}{(xy+x^{2})^{2}}

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