Determine as derivadas parciais (Exercicio Reposição)
f(x, y)=5 x y^{2}+x y^{3}+4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=5 x y^{2}+x y^{3}+4
e pede para determinar as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y. Informações relevantes:
  • A função é soma de termos polinomiais em x e y.
  • Devem ser calculadas \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Explanação curta e prática:
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo.
  • A derivada parcial em relação a y, escrita \dfrac{\partial f}{\partial y}, mede a taxa de variação de f quando y muda e x fica fixo.
    Notação: sempre que se derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante.

Passo 3

Regras que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Constante multiplicativa: se c é constante e g função, então \dfrac{d}{dx}(c\cdot g)=c\cdot \dfrac{d g}{dx}.
  • Regra do poder (power rule): para uma variável t, \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n\,t^{n-1}.
    Aplicação prática: ao diferenciar em relação a x, trate potências de y como constantes; ao diferenciar em relação a y, trate potências de x como constantes.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
  • Escrevo a função e aplico a regra da soma:
f(x,y)=5 x y^{2}+x y^{3}+4
  • Derivo termo a termo em relação a x, lembrando que y é constante:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(5 x y^{2}\big)=5 y^{2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=5 y^{2}\cdot 1=5 y^{2}.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x y^{3}\big)=y^{3}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=y^{3}\cdot 1=y^{3}.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(4)=0 porque constante não varia.
  • Somando os resultados:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=5 y^{2}+y^{3}.
Opcional: fatorando y^{2},
\dfrac{\partial f}{\partial x}=y^{2}(5+y).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
  • Parto da mesma função:
f(x,y)=5 x y^{2}+x y^{3}+4
  • Derivo termo a termo em relação a y, agora tratando x como constante:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(5 x y^{2}\big)=5 x\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})=5 x\cdot 2y=10 x y.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(x y^{3}\big)=x\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{3})=x\cdot 3y^{2}=3 x y^{2}.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(4)=0.
  • Somando:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=10 x y+3 x y^{2}.
Opcional: fatorando x y,
\dfrac{\partial f}{\partial y}=x y(10+3y).

Passo 6

Dica prática para prova (resumo rápido e útil):
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x}: trate y como constante; procure fatores que multiplicam x.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial y}: trate x como constante; aplique a regra do poder em y.
  • Sempre zere constantes isoladas (como o 4 do problema).

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=5 y^{2}+y^{3}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=10 x y+3 x y^{2}

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