Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pergunta se a sequência converge ou diverge. Caso converge, pede o limite.
Informações relevantes: a sequência é definida para inteiro positivo (presumimos
grande) e envolve um polinômio no numerador e um polinômio de grau 1 no denominador.
Informações relevantes: a sequência é definida para
Passo 2
O que significa “converge” ou “diverge” (intuição e definição usada aqui).
- Uma sequência
converge para um número finito se os termos se aproximam arbitrariamente de quando cresce. Formalmente: se, para todo , existe tal que implica . - Dizemos que
diverge para se, para todo , existe tal que implica . Essa é a definição que usaremos se concluirmos que os termos crescem sem limite superior.
Passo 3
Idéia prática para analisar
: identificar o termo dominante quando
é grande. Dois métodos comuns:
- dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente, ou - fazer divisão polinomial para escrever
como um polinômio em mais um termo que tende a zero.
Vou usar a divisão polinomial porque dá uma expressão explícita e clara.
Passo 4
Realizando a divisão polinomial de
por
. Procuramos
e resto
tais que
Tentar
. Calcular
Logo
Dividindo ambos os lados por
,
Passo 5
Interpretação da expressão obtida. Temos
Aqui
é um polinômio de grau
em
, que cresce sem limite quando
. O último termo
tende a
quando
. Portanto, intuitivamente,
cresce como
e tende a
.
Passo 6
Prova rigorosa de que
(usando a definição para divergência para
). A partir da decomposição,
pois
para todo
. Para
temos
Portanto, para todo
,
Agora, dado qualquer
, escolha
. Para todo
vale
. Isso demonstra que, para qualquer
, existe
tal que
implica
. Pela definição, isso significa que
Passo 7
Resumo da conclusão e dica prática para a prova: quando o grau do numerador for maior que o grau do denominador, a sequência tende a
ou
dependendo do sinal do termo dominante. Aqui o grau do numerador é
e do denominador é
, o quociente é da ordem de
e cresce para
. Uma técnica rápida é fazer divisão polinomial ou comparar os graus e verificar o sinal do coeficiente líder.