Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{n^{3}}{n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n^{3}}{n+1}
e pergunta se a sequência converge ou diverge. Caso converge, pede o limite.
Informações relevantes: a sequência é definida para n inteiro positivo (presumimos n\in\mathbb{N} grande) e envolve um polinômio no numerador e um polinômio de grau 1 no denominador.

Passo 2

O que significa “converge” ou “diverge” (intuição e definição usada aqui).
  • Uma sequência \{a_n\} converge para um número finito L se os termos a_n se aproximam arbitrariamente de L quando n cresce. Formalmente: \lim_{n\to\infty} a_n = L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que n\ge N implica |a_n-L|<\varepsilon.
  • Dizemos que \{a_n\} diverge para +\infty se, para todo M>0, existe N tal que n\ge N implica a_n>M. Essa é a definição que usaremos se concluirmos que os termos crescem sem limite superior.

Passo 3

Idéia prática para analisar \dfrac{n^{3}}{n+1}: identificar o termo dominante quando n é grande. Dois métodos comuns:
  • dividir numerador e denominador pela maior potência de n presente, ou
  • fazer divisão polinomial para escrever a_n como um polinômio em n mais um termo que tende a zero.
Vou usar a divisão polinomial porque dá uma expressão explícita e clara.

Passo 4

Realizando a divisão polinomial de n^{3} por n+1. Procuramos q(n) e resto r tais que
n^{3}=(n+1)\,q(n)+r.
Tentar q(n)=n^{2}-n+1. Calcular
(n+1)(n^{2}-n+1)=n^{3}+1.
Logo
n^{3}=(n+1)(n^{2}-n+1)-1.
Dividindo ambos os lados por n+1,
\frac{n^{3}}{n+1}=n^{2}-n+1-\frac{1}{n+1}.

Passo 5

Interpretação da expressão obtida. Temos
a_n = n^{2}-n+1-\frac{1}{n+1}.
Aqui \;n^{2}-n+1\; é um polinômio de grau 2 em n, que cresce sem limite quando n\to\infty. O último termo \dfrac{1}{n+1} tende a 0 quando n\to\infty. Portanto, intuitivamente, a_n cresce como n^2 e tende a +\infty.

Passo 6

Prova rigorosa de que a_n\to+\infty (usando a definição para divergência para +\infty). A partir da decomposição,
a_n = n^{2}-n+1-\frac{1}{n+1}\ge n^{2}-n+1-1 = n^{2}-n,
pois \dfrac{1}{n+1}\le 1 para todo n\ge 0. Para n\ge 2 temos
n^{2}-n = n(n-1)\ge n.
Portanto, para todo n\ge 2,
a_n \ge n.
Agora, dado qualquer M>0, escolha N=\max\{2,\lceil M\rceil\}. Para todo n\ge N vale a_n\ge n\ge N\ge M. Isso demonstra que, para qualquer M>0, existe N tal que n\ge N implica a_n>M. Pela definição, isso significa que
\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty.

Passo 7

Resumo da conclusão e dica prática para a prova: quando o grau do numerador for maior que o grau do denominador, a sequência tende a +\infty ou -\infty dependendo do sinal do termo dominante. Aqui o grau do numerador é 3 e do denominador é 1, o quociente é da ordem de n^{2} e cresce para +\infty. Uma técnica rápida é fazer divisão polinomial ou comparar os graus e verificar o sinal do coeficiente líder.

Resposta

\displaystyle a_n\to +\infty (a sequência diverge para +\infty).

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