Determine as derivadas parciás ( Exercício Reposicʒa )
f(x, y)=5 x^{2} y^{2}+x y^{3}+4

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais da função dada. Aqui estão as informações que temos:
  • A função é f(x,y)=5x^{2}y^{2}+x y^{3}+4.
  • O que se pede: calcular a derivada parcial de f em relação a x, isto é \dfrac{\partial f}{\partial x}, e a derivada parcial de f em relação a y, isto é \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou te explicar de um jeito prático e direto, tipo passo a passo que dá pra fazer na prova.
Definição (intuição + fórmula): a derivada parcial de f em relação a x mede como f muda quando só variamos x e mantemos y fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Regras práticas que vamos usar (coisa que sempre vale e é bem útil na prova):
  • Se uma expressão é produto de algo que depende só de x por algo que depende só de y, ao derivar em relação a x tratamos a parte em y como constante.
  • Regra do fator constante: se c é constante (pode depender do outro variável), \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência (para uma variável): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Produto com ambas variáveis: por exemplo, ao derivar x^2 y^2 em relação a x, consideramos y^2 como constante e aplicamos a regra do produto constante: \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y^2)=y^2\cdot \dfrac{d}{dx}x^2.
Sempre que eu usar alguma expressão matemática, tratarei o outro termo como constante conforme o que estou derivando.

Passo 3

Agora vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} de forma bem mastigada.
Escrevendo f como soma de termos:
f(x,y)=5x^{2}y^{2}+x y^{3}+4.
Derivamos termo a termo (a derivada de soma é soma das derivadas).
  1. Derivada de 5x^{2}y^{2} em relação a x: aqui y^{2} é tratado como constante; usamos a regra do fator constante e a regra da potência em x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(5x^{2}y^{2}\big)=5y^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=5y^{2}\cdot(2x)=10xy^{2}.
  1. Derivada de x y^{3} em relação a x: y^{3} é constante, e \dfrac{d}{dx}x=1, logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(x y^{3}\big)=y^{3}\cdot\frac{d}{dx}x=y^{3}.
  1. Derivada de 4 em relação a x: é constante (independe de x), então dá 0:
\frac{\partial}{\partial x}4=0.
Somando os resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=10x y^{2}+y^{3}.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y} com a mesma paciência: tratamos x como constante e derivamos em y.
Partimos de
f(x,y)=5x^{2}y^{2}+x y^{3}+4.
  1. Derivada de 5x^{2}y^{2} em relação a y: x^{2} é constante; aplicamos a regra da potência em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(5x^{2}y^{2}\big)=5x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y^{2})=5x^{2}\cdot(2y)=10x^{2}y.
  1. Derivada de x y^{3} em relação a y: x é constante aqui; \dfrac{d}{dy}y^{3}=3y^{2}, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{3}\big)=x\cdot 3y^{2}=3x y^{2}.
  1. Derivada de 4 em relação a y é 0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=10x^{2}y+3x y^{2}.

Passo 5

Um jeito útil de deixar as respostas mais compactas (opcional, só pra organização) é fatorar termos comuns:
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: \;10x y^{2}+y^{3}=y^{2}(10x+y).
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: \;10x^{2}y+3x y^{2}=x y(10x+3y).
Se quiser, na prova pode apresentar na forma fatorada ou expandida; as duas estão corretas.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=10x y^{2}+y^{3}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=10x^{2}y+3x y^{2}

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