Determine as derivadas parciás ( Exercício Reposicʒa )
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais da função dada. Aqui estão as informações que temos:
- A função é
. - O que se pede: calcular a derivada parcial de
em relação a , isto é , e a derivada parcial de em relação a , isto é .
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou te explicar de um jeito prático e direto, tipo passo a passo que dá pra fazer na prova.
Definição (intuição + fórmula): a derivada parcial de
em relação a
mede como
muda quando só variamos
e mantemos
fixo. Formalmente,
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Regras práticas que vamos usar (coisa que sempre vale e é bem útil na prova):
- Se uma expressão é produto de algo que depende só de
por algo que depende só de , ao derivar em relação a tratamos a parte em como constante. - Regra do fator constante: se
é constante (pode depender do outro variável), . - Regra da potência (para uma variável):
. - Produto com ambas variáveis: por exemplo, ao derivar
em relação a , consideramos como constante e aplicamos a regra do produto constante: .
Sempre que eu usar alguma expressão matemática, tratarei o outro termo como constante conforme o que estou derivando.
Passo 3
Agora vamos calcular
de forma bem mastigada.
Escrevendo
como soma de termos:
Derivamos termo a termo (a derivada de soma é soma das derivadas).
- Derivada de
em relação a : aqui é tratado como constante; usamos a regra do fator constante e a regra da potência em :
- Derivada de
em relação a : é constante, e , logo
- Derivada de
em relação a : é constante (independe de ), então dá :
Somando os resultados:
Passo 4
Agora calculamos
com a mesma paciência: tratamos
como constante e derivamos em
.
Partimos de
- Derivada de
em relação a : é constante; aplicamos a regra da potência em :
- Derivada de
em relação a : é constante aqui; , então
- Derivada de
em relação a é .
Somando:
Passo 5
Um jeito útil de deixar as respostas mais compactas (opcional, só pra organização) é fatorar termos comuns:
- Para
: - Para
:
Se quiser, na prova pode apresentar na forma fatorada ou expandida; as duas estão corretas.