determine as derivadas parciais da função dada.
w=f(x, y, z)=\left(y^{2}+z^{2}\right)^{x}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar as derivadas parciais de w=f(x,y,z)=\left(y^{2}+z^{2}\right)^{x}.\n
Informações dadas e observações essenciais:
  • A função é w=(y^{2}+z^{2})^{x}, dependente de três variáveis x, y e z.\n
  • As perguntas são: calcular \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y} e \dfrac{\partial w}{\partial z}.\n
  • Observação sobre domínio: para usar logaritmo natural no processo abaixo precisamos de y^{2}+z^{2}>0 (ou tratar o caso y=z=0 separadamente). Vou assumir y^{2}+z^{2}>0, que é o caso mais comum pedido em prova.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • Derivada parcial: \dfrac{\partial w}{\partial x} é a derivada de w em relação a x mantendo y e z constantes; analogamente para as outras variáveis.\n
  • Técnica conveniente: escrever a função como exponencial para facilitar derivação quando a variável aparece no expoente e/ou na base. Usamos a identidade
a^{x}=e^{x\ln a},
válida para a>0. Aqui a=y^{2}+z^{2}. Então
w=(y^{2}+z^{2})^{x}=e^{x\ln(y^{2}+z^{2})}.
Essa forma facilita aplicar a regra da cadeia: a derivada de e^{u} é e^{u}\cdot u', onde u é a função no expoente.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial x} (passo a passo):
  • Defina u(x,y,z)=x\ln(y^{2}+z^{2}), de modo que w=e^{u}.\n
  • Ao derivar em relação a x mantendo y,z constantes, \ln(y^{2}+z^{2}) é constante. Aplicando a regra da cadeia:
\dfrac{\partial w}{\partial x}=e^{u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}=e^{x\ln(y^{2}+z^{2})}\cdot \ln(y^{2}+z^{2}).
  • Voltando à forma original de w (pois e^{x\ln(y^{2}+z^{2})}=(y^{2}+z^{2})^{x}):
\dfrac{\partial w}{\partial x}=\ln\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,(y^{2}+z^{2})^{x}.
Explicação: aqui usamos que a derivada de e^{u} é e^{u}u' e que u'=\ln(y^{2}+z^{2}) quando derivamos em relação a x.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial y} (passo a passo):
  • Continuamos com w=e^{x\ln(y^{2}+z^{2})}. Agora derivamos em relação a y, então x é tratado como constante e o expoente depende de y através de \ln(y^{2}+z^{2}).\n
  • Aplicando a regra da cadeia:
\dfrac{\partial w}{\partial y}=e^{x\ln(y^{2}+z^{2})}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x\ln(y^{2}+z^{2})\bigr).
  • Como x é constante na derivação por y,
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x\ln(y^{2}+z^{2})\bigr)=x\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}\ln(y^{2}+z^{2}).
  • Derivada do logaritmo: \dfrac{d}{dy}\ln a(y)=\dfrac{a'(y)}{a(y)}. Aqui a(y)=y^{2}+z^{2}, então a'(y)=2y. Logo
\dfrac{\partial}{\partial y}\ln(y^{2}+z^{2})=\dfrac{2y}{y^{2}+z^{2}}.
  • Substituindo:
\dfrac{\partial w}{\partial y}=e^{x\ln(y^{2}+z^{2})}\cdot x\cdot \dfrac{2y}{y^{2}+z^{2}}.
  • Voltando à forma em potências:
\dfrac{\partial w}{\partial y}=(y^{2}+z^{2})^{x}\cdot x\cdot \dfrac{2y}{y^{2}+z^{2}}.
  • Simplificando a fatoração de potências:
\dfrac{\partial w}{\partial y}=2x y\,(y^{2}+z^{2})^{x-1}.
Comentário prático: isso é equivalente a aplicar a regra da potência d(a(y))^{x}/dy = x(a(y))^{x-1}a'(y), que funciona porque x é tratado como constante.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial z} (passo a passo):
  • Segue exatamente o mesmo raciocínio que para y. A diferença é que a(z)=y^{2}+z^{2} tem derivada em relação a z igual a 2z.\n
  • Usando o mesmo procedimento:
\dfrac{\partial w}{\partial z}=(y^{2}+z^{2})^{x}\cdot x\cdot \dfrac{2z}{y^{2}+z^{2}}=2x z\,(y^{2}+z^{2})^{x-1}.

Passo 6

Observações finais e dica de prova:
  • As três derivadas parciais obtidas são válidas quando y^{2}+z^{2}>0. No ponto y=z=0 a expressão original e as derivadas exigem tratamento especial (depende de x); normalmente em provas assume-se y^{2}+z^{2}>0 para usar log-diferenciação.\n
  • Dica prática: quando a variável aparece no expoente e a base depende de outras variáveis, escrever como e^{x\ln(\text{base})} e aplicar a regra da cadeia costuma ser o caminho mais rápido e seguro na prova.\n
  • Exemplinho rápido para fixar: se x=3 então w=(y^{2}+z^{2})^{3} e \dfrac{\partial w}{\partial y}=3(y^{2}+z^{2})^{2}\cdot 2y=6y(y^{2}+z^{2})^{2}, que é o caso particular da fórmula geral 2x y (y^{2}+z^{2})^{x-1} com x=3. Vai ajudar a checar resultados rapidamente.

Resposta

\displaystyle \dfrac{\partial w}{\partial x}=\ln\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,(y^{2}+z^{2})^{x}\n
\displaystyle \dfrac{\partial w}{\partial y}=2x y\,(y^{2}+z^{2})^{x-1}\n
\displaystyle \dfrac{\partial w}{\partial z}=2x z\,(y^{2}+z^{2})^{x-1}

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