determine as derivadas parciais da função dada.
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar as derivadas parciais de
.\n
Informações dadas e observações essenciais:
Informações dadas e observações essenciais:
- A função é
, dependente de três variáveis , e .\n - As perguntas são: calcular
, e .\n - Observação sobre domínio: para usar logaritmo natural no processo abaixo precisamos de
(ou tratar o caso separadamente). Vou assumir , que é o caso mais comum pedido em prova.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
- Derivada parcial:
é a derivada de em relação a mantendo e constantes; analogamente para as outras variáveis.\n - Técnica conveniente: escrever a função como exponencial para facilitar derivação quando a variável aparece no expoente e/ou na base. Usamos a identidade
válida para
. Aqui
. Então
Essa forma facilita aplicar a regra da cadeia: a derivada de
é
, onde
é a função no expoente.
Passo 3
Cálculo de
(passo a passo):
- Defina
, de modo que .\n - Ao derivar em relação a
mantendo constantes, é constante. Aplicando a regra da cadeia:
- Voltando à forma original de
(pois ):
Explicação: aqui usamos que a derivada de
é
e que
quando derivamos em relação a
.
Passo 4
Cálculo de
(passo a passo):
- Continuamos com
. Agora derivamos em relação a , então é tratado como constante e o expoente depende de através de .\n - Aplicando a regra da cadeia:
- Como
é constante na derivação por ,
- Derivada do logaritmo:
. Aqui , então . Logo
- Substituindo:
- Voltando à forma em potências:
- Simplificando a fatoração de potências:
Comentário prático: isso é equivalente a aplicar a regra da potência
, que funciona porque
é tratado como constante.
Passo 5
Cálculo de
(passo a passo):
- Segue exatamente o mesmo raciocínio que para
. A diferença é que tem derivada em relação a igual a .\n - Usando o mesmo procedimento:
Passo 6
Observações finais e dica de prova:
- As três derivadas parciais obtidas são válidas quando
. No ponto a expressão original e as derivadas exigem tratamento especial (depende de ); normalmente em provas assume-se para usar log-diferenciação.\n - Dica prática: quando a variável aparece no expoente e a base depende de outras variáveis, escrever como
e aplicar a regra da cadeia costuma ser o caminho mais rápido e seguro na prova.\n - Exemplinho rápido para fixar: se
então e , que é o caso particular da fórmula geral com . Vai ajudar a checar resultados rapidamente.