Use transformada de Laplace para resolver os sistemas: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}=-3 y+2(z-y) \\\ z^{\prime \prime}=-2(z-y)\end{array}, \operatorname{com} y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, z(0)=1\right. e z^{\prime}(0)=0.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais acopladas e pede suas soluções y(t)\) e \(z(t)\) usando transformada de Laplace. As equações e condições iniciais são:
\[\begin{cases} y'' = -3y + 2(z-y)\\[4pt] z'' = -2(z-y) \end{cases} \quad\text{com}\quad y(0)=0,\; y'(0)=1,\; z(0)=1,\; z'(0)=0.
Fração parcial para Y(s)\). Escrevo a decomposição do tipo
\[\frac{s^{2}+2s+2}{(s^{2}+1)(s^{2}+6)} = \frac{A s + B}{s^{2}+1} + \frac{C s + D}{s^{2}+6}.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+1)(s^{2}+6) e igualando coeficientes:
s^{2}+2s+2 = (A s + B)(s^{2}+6) + (C s + D)(s^{2}+1).
Expandindo e agrupando coeficientes obtemos o sistema:
\begin{cases} A + C = 0,\\[2pt] B + D = 1,\\[2pt] 6A + C = 2,\\[2pt] 6B + D = 2. \end{cases}
Resolvem-se as equações: de A+C=0\] e \(6A+C=2 vem 5A=2 então A=\tfrac{2}{5}, C=-\tfrac{2}{5}. De B+D=1 e 6B+D=2 vem 5B=1 então B=\tfrac{1}{5}, D=\tfrac{4}{5}.