Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}=-3 y+2(z-y) \\\ z^{\prime \prime}=-2(z-y)\end{array}, \operatorname{com} y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, z(0)=1\right. e z^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais acopladas e pede suas soluções y(t)\) e \(z(t)\) usando transformada de Laplace. As equações e condições iniciais são: \[\begin{cases} y'' = -3y + 2(z-y)\\[4pt] z'' = -2(z-y) \end{cases} \quad\text{com}\quad y(0)=0,\; y'(0)=1,\; z(0)=1,\; z'(0)=0.
Listei as informações relevantes:
\begin{aligned} &y'' +5y -2z = 0,\\[4pt] &z'' +2z -2y = 0, \end{aligned}
e as condições iniciais (;y(0)=0,;y’(0)=1,;z(0)=1,;z’(0)=0.]]

Passo 2

Pequena revisão da técnica que vamos usar (transformada de Laplace), explicada passo a passo.
Definição útil: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Propriedades que vamos usar (derivadas):
\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^{2}Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. O mesmo vale para z(t) com Z(s)=\mathcal{L}\{z(t)\}.
Pares básicos de transformada (que usaremos ao inverter):
\mathcal{L}\{\cos(a t)\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\sin(a t)\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Essas fórmulas permitem identificar termos com s/(s^{2}+a^{2}) e 1/(s^{2}+a^{2}) ao inverter.

Passo 3

Aplicando \mathcal{L} às duas equações usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais.
Para y'': \mathcal{L}\{y''\} = s^{2}Y(s) - s\,y(0) - y'(0) = s^{2}Y(s) - 0 - 1 = s^{2}Y(s) -1.
Para z'': \mathcal{L}\{z''\} = s^{2}Z(s) - s\,z(0) - z'(0) = s^{2}Z(s) - s - 0 = s^{2}Z(s) - s.
Agora transforme as equações escritas na Passo 1:
\mathcal{L}\{y'' +5y -2z\} = 0 \quad\Rightarrow\quad (s^{2}+5)Y(s) -2Z(s) = 1.
\mathcal{L}\{z'' +2z -2y\} = 0 \quad\Rightarrow\quad -2Y(s) + (s^{2}+2)Z(s) = s.
Temos, portanto, o sistema algébrico (em s):
\begin{cases} (s^{2}+5)Y - 2Z = 1,\\[4pt] -2Y + (s^{2}+2)Z = s. \end{cases}]

Passo 4

Resolva o sistema algébrico para Y(s) e Z(s) (uso de regra de Cramer é prático).
Determinante comum:
\Delta = \begin{vmatrix} s^{2}+5 & -2\\[4pt] -2 & s^{2}+2 \end{vmatrix} = (s^{2}+5)(s^{2}+2) - (-2)(-2) = s^{4}+7s^{2}+6.
Substituindo a primeira coluna pelo vetor de termos independentes (1,s) obtemos o numerador de Y:
\Delta_{Y} = \begin{vmatrix} 1 & -2\\[4pt] s & s^{2}+2 \end{vmatrix} = 1\cdot (s^{2}+2) - (-2)\cdot s = s^{2} + 2 + 2s = s^{2} + 2s + 2.
Substituindo a segunda coluna pelo vetor de termos independentes obtemos o numerador de Z:
\Delta_{Z} = \begin{vmatrix} s^{2}+5 & 1\\[4pt] -2 & s \end{vmatrix} = (s^{2}+5)\cdot s - 1\cdot(-2) = s^{3} +5s +2.
Logo
Y(s) = \frac{\Delta_{Y}}{\Delta} = \frac{s^{2} + 2s + 2}{s^{4} + 7s^{2} + 6}, \qquad Z(s) = \frac{\Delta_{Z}}{\Delta} = \frac{s^{3} + 5s + 2}{s^{4} + 7s^{2} + 6}.
Note que o denominador fatora:
s^{4}+7s^{2}+6 = (s^{2}+1)(s^{2}+6).]

Passo 5

Fração parcial para Y(s)\). Escrevo a decomposição do tipo \[\frac{s^{2}+2s+2}{(s^{2}+1)(s^{2}+6)} = \frac{A s + B}{s^{2}+1} + \frac{C s + D}{s^{2}+6}.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+1)(s^{2}+6) e igualando coeficientes:
s^{2}+2s+2 = (A s + B)(s^{2}+6) + (C s + D)(s^{2}+1).
Expandindo e agrupando coeficientes obtemos o sistema:
\begin{cases} A + C = 0,\\[2pt] B + D = 1,\\[2pt] 6A + C = 2,\\[2pt] 6B + D = 2. \end{cases}
Resolvem-se as equações: de A+C=0\] e \(6A+C=2 vem 5A=2 então A=\tfrac{2}{5}, C=-\tfrac{2}{5}. De B+D=1 e 6B+D=2 vem 5B=1 então B=\tfrac{1}{5}, D=\tfrac{4}{5}.
Assim
Y(s)=\frac{\tfrac{2}{5}s + \tfrac{1}{5}}{s^{2}+1} + \frac{-\tfrac{2}{5}s + \tfrac{4}{5}}{s^{2}+6}.]

Passo 6

Inverto a transformada termo a termo usando os pares básicos.
Termos com s/(s^{2}+a^{2}) correspondem a \cos(a t). Termos com 1/(s^{2}+a^{2}) correspondem a \frac{1}{a}\sin(a t).
Para Y(s) temos (lembre que a=1 para s^{2}+1 e a=\sqrt{6} para s^{2}+6):
\begin{aligned} \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{2}{5}s}{s^{2}+1}\right\} &= \tfrac{2}{5}\cos t,\\[4pt] \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{1}{5}}{s^{2}+1}\right\} &= \tfrac{1}{5}\sin t,\\[4pt] \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-\tfrac{2}{5}s}{s^{2}+6}\right\} &= -\tfrac{2}{5}\cos(\sqrt{6}\,t),\\[4pt] \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{4}{5}}{s^{2}+6}\right\} &= \tfrac{4}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}\sin(\sqrt{6}\,t). \end{aligned}
Somando os termos obtemos y(t):
y(t)=\tfrac{2}{5}\cos t + \tfrac{1}{5}\sin t - \tfrac{2}{5}\cos(\sqrt{6}\,t) + \tfrac{4}{5\sqrt{6}}\sin(\sqrt{6}\,t).]

Passo 7

Fração parcial para Z(s)\). Escrevo \[\frac{s^{3}+5s+2}{(s^{2}+1)(s^{2}+6)} = \frac{E s + F}{s^{2}+1} + \frac{G s + H}{s^{2}+6}.
Multiplicando e igualando coeficientes:
s^{3}+5s+2 = (E s + F)(s^{2}+6) + (G s + H)(s^{2}+1).
Agrupando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} E + G = 1,\\[2pt] F + H = 0,\\[2pt] 6E + G = 5,\\[2pt] 6F + H = 2. \end{cases}
Resolve-se: de E+G=1\] e \(6E+G=5 vem 5E=4 então E=\tfrac{4}{5}, G=\tfrac{1}{5}. De F+H=0 e 6F+H=2 vem 5F=2 então F=\tfrac{2}{5}, H=-\tfrac{2}{5}.
Logo
Z(s)=\frac{\tfrac{4}{5}s + \tfrac{2}{5}}{s^{2}+1} + \frac{\tfrac{1}{5}s - \tfrac{2}{5}}{s^{2}+6}.]

Passo 8

Inverto Z(s) termo a termo.
Para s^{2}+1 (a = 1):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{4}{5}s}{s^{2}+1}\right\} = \tfrac{4}{5}\cos t, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{2}{5}}{s^{2}+1}\right\} = \tfrac{2}{5}\sin t.
Para s^{2}+6 (a = \sqrt{6}):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{1}{5}s}{s^{2}+6}\right\} = \tfrac{1}{5}\cos(\sqrt{6}\,t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-\tfrac{2}{5}}{s^{2}+6}\right\} = -\tfrac{2}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}\sin(\sqrt{6}\,t).
Somando:
z(t)=\tfrac{4}{5}\cos t + \tfrac{2}{5}\sin t + \tfrac{1}{5}\cos(\sqrt{6}\,t) - \tfrac{2}{5\sqrt{6}}\sin(\sqrt{6}\,t).

Passo 9

Cheque rápido das condições iniciais (para ganhar confiança):
y(0)=\tfrac{2}{5}(1-1)+0+0=0\quad\checkmark,\qquad z(0)=\tfrac{4}{5}+\tfrac{1}{5}=1\quad\checkmark.
Se você derivar y(t) e z(t) e avaliar em t=0 vai obter y'(0)=1 e z'(0)=0 (procedimento mecânico que confirma consistência).

Resposta

y(t)=\dfrac{2}{5}\cos t+\dfrac{1}{5}\sin t-\dfrac{2}{5}\cos(\sqrt{6}\,t)+\dfrac{4}{5\sqrt{6}}\sin(\sqrt{6}\,t)\n
z(t)=\dfrac{4}{5}\cos t+\dfrac{2}{5}\sin t+\dfrac{1}{5}\cos(\sqrt{6}\,t)-\dfrac{2}{5\sqrt{6}}\sin(\sqrt{6}\,t)

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