Resolver las siguientes ec. diferenciales por Laplace
Passo 1
Temos a equação diferencial com condição inicial:
Aqui
é a função degrau unitário (ou seja,
para
). O objetivo é encontrar
para
.
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, a definição e as propriedades que precisaremos:
onde
é a variável da transformada e
é a imagem de
. Propriedades importantes:
- Linearidade:
. - Derivada: se
, então
- Exponencial:
para .
Explico as variáveis:
é a função no tempo;
é sua transformada;
é a variável complexa da transformada. Essas fórmulas nos permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em
.
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação.
Pelo lado esquerdo:
Pelo lado esquerdo:
Pelo lado direito, como
é o degrau,
Usando
, a equação transformada fica:
Passo 4
Agora resolvemos essa equação algébrica para
. Expandindo:
Agrupando os termos em
:
Colocando em uma única fração no numerador:
Passo 5
Para inverter a transformada, fazemos frações parciais. Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes:
Da segunda equação dividida por
. Subtraindo dessa a primeira reduzida obtemos
Então
Passo 6
Agora escrevemos
com os coeficientes encontrados:
Para inverter a segunda fração, note que
. Usando
obtemos
Simplificando o segundo termo:
Como checagem rápida: em
temos
, que confere com a condição inicial — bom sinal!