Resolver las siguientes ec. diferenciales por Laplace
\quad 2 \frac{d}{d t} v(t)+3 v(t)=e^{-3 t} u(t) ; \quad v(0)=2

Passo 1

Temos a equação diferencial com condição inicial:
2\frac{d}{dt}v(t)+3v(t)=e^{-3t}u(t),\qquad v(0)=2.
Aqui u(t) é a função degrau unitário (ou seja, u(t)=1 para t\ge0). O objetivo é encontrar v(t) para t\ge0.

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, a definição e as propriedades que precisaremos:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável da transformada e \mathcal{L}\{f\}(s) é a imagem de f. Propriedades importantes:
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Derivada: se V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{v'(t)\}(s)=sV(s)-v(0).
  • Exponencial: \mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\}(s)=\dfrac{1}{s+a} para \Re(s)>-a.
Explico as variáveis: v(t) é a função no tempo; V(s) é sua transformada; s é a variável complexa da transformada. Essas fórmulas nos permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em s.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação.
Pelo lado esquerdo:
\mathcal{L}\{2v'(t)+3v(t)\}=2\mathcal{L}\{v'(t)\}+3\mathcal{L}\{v(t)\}=2\big(sV(s)-v(0)\big)+3V(s).
Pelo lado direito, como u(t) é o degrau,
\mathcal{L}\{e^{-3t}u(t)\}=\frac{1}{s+3}.
Usando v(0)=2, a equação transformada fica:
2\big(sV(s)-2\big)+3V(s)=\frac{1}{s+3}.

Passo 4

Agora resolvemos essa equação algébrica para V(s). Expandindo:
2sV(s)-4+3V(s)=\frac{1}{s+3}.
Agrupando os termos em V(s):
(2s+3)V(s)=\frac{1}{s+3}+4.
Colocando em uma única fração no numerador:
V(s)=\frac{\dfrac{1}{s+3}+4}{2s+3}=\frac{1+4(s+3)}{(s+3)(2s+3)}=\frac{4s+13}{(s+3)(2s+3)}.

Passo 5

Para inverter a transformada, fazemos frações parciais. Escrevemos
\frac{4s+13}{(s+3)(2s+3)}=\frac{A}{s+3}+\frac{B}{2s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+3)(2s+3)\) obtemos \[4s+13 = A(2s+3)+B(s+3).
Expandindo o lado direito:
4s+13=(2A+B)s+(3A+3B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} 2A+B=4,\\[4pt] 3A+3B=13. \end{cases}
Da segunda equação dividida por 3\] temos \(A+B=\tfrac{13}{3}. Subtraindo dessa a primeira reduzida obtemos
A=\;4-\tfrac{13}{3}=\tfrac{12-13}{3}=-\tfrac{1}{3}.
Então
B=\tfrac{13}{3}-A=\tfrac{13}{3}+ \tfrac{1}{3}=\tfrac{14}{3}.]

Passo 6

Agora escrevemos V(s) com os coeficientes encontrados:
V(s)=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+3}+\frac{14}{3}\cdot\frac{1}{2s+3}.
Para inverter a segunda fração, note que \dfrac{1}{2s+3}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{s+3/2}. Usando \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-at} obtemos
v(t)=-\frac{1}{3}e^{-3t}+\frac{14}{3}\cdot\frac{1}{2}e^{-\tfrac{3}{2}t}.
Simplificando o segundo termo:
v(t)=-\frac{1}{3}e^{-3t}+\frac{7}{3}e^{-\tfrac{3}{2}t}.
Como checagem rápida: em t=0 temos v(0)=-\tfrac{1}{3}+\tfrac{7}{3}= \tfrac{6}{3}=2, que confere com a condição inicial — bom sinal!

Resposta

v(t)=-\tfrac{1}{3}e^{-3t}+\tfrac{7}{3}e^{-\tfrac{3}{2}t}

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