Determine as derivadas parciais das funções:
i) f(x, y)=e^{x y^{5}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais da função \,f(x,y)=e^{x y^{5}}\,.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x,y)=e^{x y^{5}}\,.
Perguntas explícitas:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y).
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é uma derivada parcial (explicação curta e prática):
A derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é a taxa de variação quando só y muda e x fica fixo:
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}.
Na prática, para calcular, trata-se a variável não diferenciada como constante e aplica-se as regras usuais de derivação.

Passo 3

Estratégia prática para essa função (cadeia de funções):
A função \,f(x,y)=e^{x y^{5}}\, é uma composição f(x,y)=g(u(x,y)) com
g(t)=e^{t},\qquad u(x,y)=x y^{5}.
Usaremos a regra da cadeia para derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial x}g(u(x,y))=g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}g(u(x,y))=g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Lembrete: a derivada de g(t)=e^{t} é g'(t)=e^{t}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u(x,y)=x y^{5}.
  • Ao derivar em relação a x, tratamos y como constante. A função é produto de x por uma constante y^{5}, então
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=y^{5}.
Explicação: para olhar só o efeito de x, \,u(x,y)= (y^{5})\cdot x\,, e a derivada de x é 1, portanto sobra y^{5}.
  • Ao derivar em relação a y, tratamos x como constante. Aqui usamos a regra da potência para y^{5}:
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=x\cdot \frac{d}{dy}\bigl(y^{5}\bigr)=x\cdot 5y^{4}=5x y^{4}.
Explicação: x é constante, e a derivada de y^{5} em relação a y é 5y^{4}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Usando g'(t)=e^{t} e \dfrac{\partial u}{\partial x}=y^{5}, tem-se
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = e^{u(x,y)}\cdot y^{5}.
Substituindo u(x,y)=x y^{5},
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^{5}\,e^{x y^{5}}.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Usando g'(t)=e^{t} e \dfrac{\partial u}{\partial y}=5x y^{4}, tem-se
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = e^{u(x,y)}\cdot 5x y^{4}.
Substituindo u(x,y)=x y^{5},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=5x y^{4}\,e^{x y^{5}}.

Passo 7

Pequeno comentário final e dica para a prova:
  • Sempre identifique a “parte interna” u(x,y) quando vir exponenciais ou funções compostas.
  • Derive u parcialmente mantendo a outra variável fixa.
  • Memorize que a derivada de e^{(\cdot)} é ela mesma multiplicada pela derivada da parte dentro dos parênteses.
    Você está no caminho certo — com esse padrão fica rápido de calcular no exame.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^{5}\,e^{x y^{5}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=5x y^{4}\,e^{x y^{5}}

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