Determine as derivadas parciais das funções:
i)
i)
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais da função
.
Informações dadas:
- A função é
.
Perguntas explícitas:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial (explicação curta e prática):
A derivada parcial de em relação a
é a taxa de variação de
quando só
muda e
fica fixo. Formalmente,
A derivada parcial de
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é a taxa de variação quando só
muda e
fica fixo:
Na prática, para calcular, trata-se a variável não diferenciada como constante e aplica-se as regras usuais de derivação.
Passo 3
Estratégia prática para essa função (cadeia de funções):
A função é uma composição
com
A função
Usaremos a regra da cadeia para derivadas parciais:
Lembrete: a derivada de
é
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
- Ao derivar em relação a
, tratamos como constante. A função é produto de por uma constante , então
Explicação: para olhar só o efeito de
,
, e a derivada de
é
, portanto sobra
.
- Ao derivar em relação a
, tratamos como constante. Aqui usamos a regra da potência para :
Explicação:
é constante, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Usando
e
, tem-se
Substituindo
,
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Usando
e
, tem-se
Substituindo
,
Passo 7
Pequeno comentário final e dica para a prova:
- Sempre identifique a “parte interna”
quando vir exponenciais ou funções compostas. - Derive
parcialmente mantendo a outra variável fixa. - Memorize que a derivada de
é ela mesma multiplicada pela derivada da parte dentro dos parênteses.
Você está no caminho certo — com esse padrão fica rápido de calcular no exame.