Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
h) f(x, y)=e^{2 x y-25},(-1,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função no ponto dado. Informações fornecidas:
  • Função: f(x,y)=e^{2xy-25}.
  • Ponto onde devemos avaliar: (-1,2).
As perguntas explícitas que vamos responder:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e depois avaliá-la em (-1,2).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} e depois avaliá-la em (-1,2).

Passo 2

Conceito e estratégia (passo-a-passo didático):
  • Derivada parcial em relação a x: trata-se de derivar a função em relação a x mantendo y como constante.
  • Derivada parcial em relação a y: deriva-se em relação a y mantendo x como constante.
  • Observe que f é uma composição f(x,y)=e^{u(x,y)} onde u(x,y)=2xy-25. Para funções exponenciais compostas usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u} em relação a uma variável é e^{u} vezes a derivada de u em relação àquela variável.
Vou aplicar essa regra da cadeia claramente em cada derivada.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • Identifico u(x,y)=2xy-25.
  • Derivada parcial de u em relação a x, tratando y como constante, é:
\frac{\partial u}{\partial x}=2y,
porque a derivada de 2xy em relação a x é 2y (multiplica-se a constante 2y por x) e a derivada de -25 é 0.
  • Aplicando a regra da cadeia para f=e^{u}:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Substituindo u e \partial u/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{2xy-25}\cdot(2y).
  • Podemos reescrever de forma limpa:
\frac{\partial f}{\partial x}=2y\,e^{2xy-25}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Novamente u(x,y)=2xy-25.
  • Derivada parcial de u em relação a y, tratando x como constante, é:
\frac{\partial u}{\partial y}=2x,
pois a derivada de 2xy em relação a y é 2x e a derivada de -25 é 0.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
  • Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{2xy-25}\cdot(2x).
  • Forma final:
\frac{\partial f}{\partial y}=2x\,e^{2xy-25}.

Passo 5

Avaliar as derivadas no ponto (-1,2):
  • Primeiro calcule o expoente em (-1,2):
2xy-25 = 2\cdot(-1)\cdot 2 -25 = -4 -25 = -29.
  • Avaliando \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=2y\,e^{2xy-25}\Big|_{(-1,2)} = 2\cdot 2 \cdot e^{-29} = 4\,e^{-29}.
  • Avaliando \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=2x\,e^{2xy-25}\Big|_{(-1,2)} = 2\cdot(-1)\cdot e^{-29} = -2\,e^{-29}.

Passo 6

Comentário final curto e incentivo:
  • Pronto! As derivadas parciais são simples porque a exponencial se diferencia pela própria exponencial multiplicada pela derivada do expoente. Se bater nervoso na prova, lembra: mantenha a outra variável fixa e aplique a regra da cadeia — é só isso neste tipo de exercício. Você está indo bem; respira e repete o procedimento com outras funções para pegar confiança!

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=4\,e^{-29}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=-2\,e^{-29}

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