Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função no ponto dado. Informações fornecidas:
- Função:
. - Ponto onde devemos avaliar:
.
As perguntas explícitas que vamos responder:
- Calcular
e depois avaliá-la em . - Calcular
e depois avaliá-la em .
Passo 2
Conceito e estratégia (passo-a-passo didático):
- Derivada parcial em relação a
: trata-se de derivar a função em relação a mantendo como constante. - Derivada parcial em relação a
: deriva-se em relação a mantendo como constante. - Observe que
é uma composição onde . Para funções exponenciais compostas usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a uma variável é vezes a derivada de em relação àquela variável.
Vou aplicar essa regra da cadeia claramente em cada derivada.
Passo 3
Calcular
:
- Identifico
. - Derivada parcial de
em relação a , tratando como constante, é:
porque a derivada de
em relação a
é
(multiplica-se a constante
por
) e a derivada de
é
.
- Aplicando a regra da cadeia para
:
- Substituindo
e :
- Podemos reescrever de forma limpa:
Passo 4
Calcular
:
- Novamente
. - Derivada parcial de
em relação a , tratando como constante, é:
pois a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
.
- Pela regra da cadeia:
- Substituindo:
- Forma final:
Passo 5
Avaliar as derivadas no ponto
:
- Primeiro calcule o expoente em
:
- Avaliando
:
- Avaliando
:
Passo 6
Comentário final curto e incentivo:
- Pronto! As derivadas parciais são simples porque a exponencial se diferencia pela própria exponencial multiplicada pela derivada do expoente. Se bater nervoso na prova, lembra: mantenha a outra variável fixa e aplique a regra da cadeia — é só isso neste tipo de exercício. Você está indo bem; respira e repete o procedimento com outras funções para pegar confiança!