Determine as derivadas parciais das funções:
d) f(x, y)=\frac{e^{2 x+y^{2}}}{\sqrt{x+y}}+\ln x\left(y^{2}+3\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais da função
f(x,y)=\frac{e^{2x+y^{2}}}{\sqrt{x+y}}+\ln x\left(y^{2}+3\right).
As tarefas são:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é soma de dois termos: o primeiro é \dfrac{e^{2x+y^{2}}}{\sqrt{x+y}} e o segundo é \ln x\,(y^{2}+3).
  • Para que a função esteja bem definida é preciso ter x>0 (para \ln x) e x+y>0 (para \sqrt{x+y}). Estas são restrições de domínio que vamos respeitar ao derivar.

Passo 2

Rápida explicação de método (fundamentos que usaremos, em linguagem direta):
  • Derivada parcial em relação a x: trata y como constante e deriva como se fosse uma função de uma variável x.
  • Derivada parcial em relação a y: trata x como constante.
  • Regras que usaremos:
    • Derivada da soma: a derivada parcial da soma é a soma das derivadas parciais.
    • Regra do produto: se h(x,y)=u(x,y)v(x,y) então \dfrac{\partial h}{\partial x}=u_x v + u v_x.
    • Regra da cadeia: se u(x,y)=e^{g(x,y)} então u_x = e^{g(x,y)} g_x.
    • Potências: \dfrac{d}{dx}(t)^{\alpha}=\alpha t^{\alpha-1} t_x.
    • Derivadas usuais: \dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}, \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}g'(x).
Vamos aplicar essas regras passo a passo nos dois termos.

Passo 3

Primeiro reescrevo o primeiro termo de forma mais conveniente para derivar:
\frac{e^{2x+y^{2}}}{\sqrt{x+y}} = e^{2x+y^{2}}(x+y)^{-1/2}.
Vou chamar para esse termo
u(x,y)=e^{2x+y^{2}},\qquad v(x,y)=(x+y)^{-1/2},
de modo que o termo é u\cdot v. Isso facilita usar a regra do produto.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial}{\partial x} do primeiro termo u\cdot v.
  • Derivada parcial de u em relação a x:
    u_x = \frac{\partial}{\partial x} e^{2x+y^{2}} = e^{2x+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x+y^{2}) = e^{2x+y^{2}}\cdot 2 = 2e^{2x+y^{2}}.
    (Aqui \dfrac{\partial}{\partial x}(2x+y^{2})=2 porque y é tratado como constante.)
  • Derivada parcial de v em relação a x:
    v_x = \frac{\partial}{\partial x}(x+y)^{-1/2} = -\tfrac{1}{2}(x+y)^{-3/2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y) = -\tfrac{1}{2}(x+y)^{-3/2}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(u v\big) = u_x v + u v_x = 2e^{2x+y^{2}}(x+y)^{-1/2} - \tfrac{1}{2}e^{2x+y^{2}}(x+y)^{-3/2}.
Para deixar mais compacto, fatoro e^{2x+y^{2}}(x+y)^{-3/2}:
2(x+y)^{-1/2}=2(x+y)^{-3/2}(x+y),
portanto
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{e^{2x+y^{2}}}{\sqrt{x+y}}\right) = e^{2x+y^{2}}(x+y)^{-3/2}\left(2(x+y)-\tfrac{1}{2}\right).
Multiplicando por 2/2 no parêntese dá uma forma limpa:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{e^{2x+y^{2}}}{\sqrt{x+y}}\right) = \frac{e^{2x+y^{2}}}{2(x+y)^{3/2}}\big(4(x+y)-1\big).

Passo 5

Derivar em relação a x o segundo termo \ln x\,(y^{2}+3).
Aqui (y^{2}+3) é constante em relação a x, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(\ln x\,(y^{2}+3)\big) = (y^{2}+3)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\ln x = (y^{2}+3)\cdot\frac{1}{x}.

Passo 6

Somando as duas contribuições obtemos a derivada parcial de f em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{e^{2x+y^{2}}}{2(x+y)^{3/2}}\big(4(x+y)-1\big) + \frac{y^{2}+3}{x}.

Passo 7

Agora calculo \dfrac{\partial f}{\partial y}. Começo pelo primeiro termo u\cdot v com u=e^{2x+y^{2}} e v=(x+y)^{-1/2}.
  • Derivada parcial de u em relação a y:
    u_y = \frac{\partial}{\partial y} e^{2x+y^{2}} = e^{2x+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x+y^{2}) = e^{2x+y^{2}}\cdot 2y = 2y\,e^{2x+y^{2}}.
  • Derivada parcial de v em relação a y:
    v_y = \frac{\partial}{\partial y}(x+y)^{-1/2} = -\tfrac{1}{2}(x+y)^{-3/2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y) = -\tfrac{1}{2}(x+y)^{-3/2}.
Aplicando produto:
\frac{\partial}{\partial y}\big(u v\big) = u_y v + u v_y = 2y\,e^{2x+y^{2}}(x+y)^{-1/2} - \tfrac{1}{2}e^{2x+y^{2}}(x+y)^{-3/2}.
Fatorando e^{2x+y^{2}}(x+y)^{-3/2} como antes:
2y(x+y)^{-1/2} = 2y(x+y)^{-3/2}(x+y),
logo
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{e^{2x+y^{2}}}{\sqrt{x+y}}\right) = e^{2x+y^{2}}(x+y)^{-3/2}\left(2y(x+y)-\tfrac{1}{2}\right).
Escrevendo de forma similar à do caso x:
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{e^{2x+y^{2}}}{\sqrt{x+y}}\right) = \frac{e^{2x+y^{2}}}{2(x+y)^{3/2}}\big(4y(x+y)-1\big).

Passo 8

Derivar em relação a y o segundo termo \ln x\,(y^{2}+3).
Agora \ln x é constante (em relação a y), então
\frac{\partial}{\partial y}\big(\ln x\,(y^{2}+3)\big) = \ln x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}+3) = \ln x \cdot 2y = 2y\ln x.

Passo 9

Somando as contribuições, a derivada parcial de f em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{e^{2x+y^{2}}}{2(x+y)^{3/2}}\big(4y(x+y)-1\big) + 2y\ln x.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{e^{2x+y^{2}}}{2(x+y)^{3/2}}\big(4(x+y)-1\big) + \frac{y^{2}+3}{x}
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{e^{2x+y^{2}}}{2(x+y)^{3/2}}\big(4y(x+y)-1\big) + 2y\ln x

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