Determine as derivadas parciais das funções:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais da função
As tarefas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é soma de dois termos: o primeiro é
e o segundo é . - Para que a função esteja bem definida é preciso ter
(para ) e (para ). Estas são restrições de domínio que vamos respeitar ao derivar.
Passo 2
Rápida explicação de método (fundamentos que usaremos, em linguagem direta):
- Derivada parcial em relação a
: trata como constante e deriva como se fosse uma função de uma variável . - Derivada parcial em relação a
: trata como constante. - Regras que usaremos:
- Derivada da soma: a derivada parcial da soma é a soma das derivadas parciais.
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia: se
então . - Potências:
. - Derivadas usuais:
, .
Vamos aplicar essas regras passo a passo nos dois termos.
Passo 3
Primeiro reescrevo o primeiro termo de forma mais conveniente para derivar:
Vou chamar para esse termo
de modo que o termo é
. Isso facilita usar a regra do produto.
Passo 4
Calcular
do primeiro termo
.
-
Derivada parcial de
em relação a : (Aquiporque é tratado como constante.) -
Derivada parcial de
em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Para deixar mais compacto, fatoro
:
portanto
Multiplicando por
no parêntese dá uma forma limpa:
Passo 5
Derivar em relação a
o segundo termo
.
Aqui
é constante em relação a
, então
Passo 6
Somando as duas contribuições obtemos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Agora calculo
. Começo pelo primeiro termo
com
e
.
-
Derivada parcial de
em relação a : -
Derivada parcial de
em relação a :
Aplicando produto:
Fatorando
como antes:
logo
Escrevendo de forma similar à do caso
:
Passo 8
Derivar em relação a
o segundo termo
.
Agora
é constante (em relação a
), então
Passo 9
Somando as contribuições, a derivada parcial de
em relação a
é