Determine as derivadas parciais indicadas
c) f(x, y)=x e^-2 y+y e^-x+x y^2 ; fy(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x e^{-2 y} + y e^{-x} + x y^{2} $ e precisa encontrar a derivada parcial em relação a $ y $ no ponto $ (0,0) $. Pra resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais da matéria de Cálculo Diferencial, que nos ajuda a entender como a função muda quando a gente varia uma variável enquanto mantém a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_{y}(x, y) $. Isso significa que vamos derivar cada termo da função em relação a $ y $, tratando $ x $ como uma constante.
A função é:
f
Vamos derivar termo a termo:
  1. Derivada de $ x e^{-2 y} $ em relação a $ y $:
y
  1. Derivada de $ y e^{-x} $ em relação a $ y $:
fy(x, y)
  1. Derivada de $ x y^{2} $ em relação a $ y $:
y
Agora, juntando todas as derivadas:
x

Passo 3

Agora que temos a expressão da derivada parcial $ f_{y}(x, y) $, vamos substituir os valores $ x = 0 $ e $ y = 0 $ para encontrar $ f_{y}(0,0) $.
Substituindo na expressão:
fy(x, y)

Resposta

$ f_{y}(0,0) = 1 $

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