Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
h) z=ln (xy+yx)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo diferencial onde precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso envolve entender como calcular derivadas parciais usando regras básicas de derivação e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante. Neste caso, vamos calcular e .

Passo 3

Vamos começar encontrando partial zpartial x = 1u cdot partial upartial x . A função é , onde . Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar u = xy + yx . A função partialpartial x(xy) = 1y é:
partialpartial x(yx) = -yx^2
Derivando termo a termo em relação a partial upartial x = 1y - yx^2 :
Então:

Passo 5

Substituindo partial zpartial x = 1xy + yx ( 1y - yx^2 ) na expressão da derivada de partial zpartial x = 1y - yx^2xy + yx :
Podemos simplificar a expressão:

Passo 6

Agora, vamos calcular partial zpartial y = 1u cdot partial upartial y seguindo um processo similar. Usamos a regra da cadeia:

Passo 7

Encontramos u = xy + yx . Lembrando que:
partialpartial y(xy) = -xy^2
Derivando em relação a partialpartial y(yx) = 1x :
partial upartial y = -xy^2 + 1x
Então:

Passo 8

Substituindo partial zpartial y = -xy^2 + 1xxy + yx na expressão da derivada de partial zpartial y = -xy^2 + 1xxy + yx :
Essa expressão também pode ser simplificada:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial zpartial x = 1y - yx^2xy + yx
e
partial zpartial y = -xy^2 + 1xxy + yx

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