Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo diferencial onde precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso envolve entender como calcular derivadas parciais usando regras básicas de derivação e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função
muda em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante. Neste caso, vamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. A função é
, onde
. Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. A função
é:
Derivando termo a termo em relação a
:
Então:
Passo 5
Substituindo
na expressão da derivada de
:
Podemos simplificar a expressão:
Passo 6
Agora, vamos calcular
seguindo um processo similar. Usamos a regra da cadeia:
Passo 7
Encontramos
. Lembrando que:
Derivando em relação a
:
Então:
Passo 8
Substituindo
na expressão da derivada de
:
Essa expressão também pode ser simplificada:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e