Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y, z)=x^{3} ; \quad f_{i}(e, 1,0)

Passo 1

O enunciado dá a função de três variáveis
f(x,y,z)=x^{3}
e pede as derivadas parciais f_{i} no ponto (e,1,0). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais: para cada variável, tratamos as outras como constantes.

Passo 2

Para a primeira derivada parcial, derivamos em relação a x, mantendo y e z presos. Como
f(x,y,z)=x^{3},
temos
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}.

Passo 3

Para as outras duas variáveis, y e z, a função f não depende delas, ou seja, elas aparecem “presas” sem influência em f. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial z}=0.

Passo 4

Basta agora avaliar cada derivada parcial no ponto (x,y,z)=(e,1,0):
f_{1}(e,1,0)=3e^{2}, \quad f_{2}(e,1,0)=0, \quad f_{3}(e,1,0)=0.

Resposta

f_{1}(e,1,0)=3e^{2},\quad f_{2}(e,1,0)=0,\quad f_{3}(e,1,0)=0.

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