Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funçăo.
u=x^{y / 2}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
u(x,y)=x^{y/2}.
O conteúdo envolvido é derivada parcial, e vamos usar a representação exponencial e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Escrevemos u em função exponencial, pois isso facilita a aplicação da regra da cadeia:
u = x^{y/2} = \exp\!\bigl(\tfrac{y}{2}\ln x\bigr).

Passo 3

Calculamos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}.
Como u=\exp(g(x,y)) com g(x,y)=\tfrac{y}{2}\ln x, temos
\frac{\partial u}{\partial x} = \exp\bigl(g(x,y)\bigr)\cdot \frac{\partial }{\partial x}\!\bigl(g(x,y)\bigr) = x^{y/2}\cdot \frac{y}{2}\cdot \frac{1}{x} = \frac{y}{2}\,x^{\frac{y}{2}-1}.

Passo 4

Calculamos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}.
Mantendo u=\exp(g(x,y)) com o mesmo g, obtemos
\frac{\partial u}{\partial y} = \exp\bigl(g(x,y)\bigr)\cdot \frac{\partial }{\partial y}\!\bigl(g(x,y)\bigr) = x^{y/2}\cdot \frac{1}{2}\ln x = \frac{x^{\frac{y}{2}}\ln x}{2}.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y}{2}\,x^{\frac{y}{2}-1}.
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x^{\frac{y}{2}}\ln x}{2}.

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