Verifique se a conclusăo do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a conclusão do Teorema de Clairaut, ou seja, mostrar que para
temos
O Teorema de Clairaut afirma que, se
e suas derivadas parciais de segunda ordem forem contínuas numa vizinhança, então os diferenciais parciais mistos coincidem.
Passo 2
Calculemos primeiro a derivada parcial de
em relação a
. Como
não depende de
,
Dessa forma, ao derivar em seguida em relação a
,
Passo 3
Agora calculemos a derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, derivamos em relação a
:
pois também não há dependência em
.
Passo 4
Comparando os resultados obtidos, vemos que
logo
Além disso,
é composição de funções infinitamente diferenciáveis, garantindo a continuidade das derivadas mistas de segunda ordem, cumprindo assim as hipóteses do Teorema de Clairaut.
Resposta
De fato,
, logo a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para esta função.