Verifique se a conclusăo do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_{0 y}=u_{y p}.
u=e^{27} \operatorname{sen} y

Passo 1

O enunciado pede para verificar a conclusão do Teorema de Clairaut, ou seja, mostrar que para
u(x,y)=e^{27}\sin y
temos
u_{xy}=u_{yx}.
O Teorema de Clairaut afirma que, se u e suas derivadas parciais de segunda ordem forem contínuas numa vizinhança, então os diferenciais parciais mistos coincidem.

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada parcial de u em relação a x. Como u não depende de x,
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{27}\sin y\bigr)=0.
Dessa forma, ao derivar em seguida em relação a y,
u_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(u_x)=\frac{\partial}{\partial y}(0)=0.

Passo 3

Agora calculemos a derivada parcial de u em relação a y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{27}\sin y\bigr) =e^{27}\cos y.
Em seguida, derivamos em relação a x:
u_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{27}\cos y\bigr)=0,
pois também não há dependência em x.

Passo 4

Comparando os resultados obtidos, vemos que
u_{xy}=0 \quad\text{e}\quad u_{yx}=0,
logo
u_{xy}=u_{yx}.
Além disso, u é composição de funções infinitamente diferenciáveis, garantindo a continuidade das derivadas mistas de segunda ordem, cumprindo assim as hipóteses do Teorema de Clairaut.

Resposta

De fato, u_{xy}=u_{yx}=0, logo a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para esta função.

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