Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y, z)=\ln \frac{1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{1+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} ; \quad f_{x}(1,2,2)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=\ln\frac{1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{1+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
e pede a derivada parcial \,f_{x}(1,2,2).
O conteúdo envolvido é derivada parcial e regra da cadeia, pois a função depende de \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 2

Para facilitar a diferenciação, note que
f(x,y,z)=\ln(1-r)-\ln(1+r),
onde definimos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada parcial de r em relação a x. Como
r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2},
pela regra da cadeia vem
\frac{\partial r}{\partial x} =\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x =\frac{x}{r}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia em cada termo de f:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\ln(1-r)\bigr] =\frac{1}{1-r}\,\bigl(-\frac{\partial r}{\partial x}\bigr) =-\frac{r_{x}}{1-r},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[-\ln(1+r)\bigr] =-\frac{1}{1+r}\,\frac{\partial r}{\partial x} =-\frac{r_{x}}{1+r}.
Somando,
f_{x} =-r_{x}\Bigl(\frac{1}{1-r}+\frac{1}{1+r}\Bigr) =-r_{x}\,\frac{2}{1-r^{2}} =-\frac{2\,r_{x}}{1-r^{2}}.
Substituindo r_{x}=x/r resulta
f_{x}=-\frac{2}{1-r^{2}}\cdot\frac{x}{r}.

Passo 5

Em (1,2,2) temos
r=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3,
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f_{x}(1,2,2) =-\frac{2}{1-3^{2}}\cdot\frac{1}{3} =-\frac{2}{1-9}\cdot\frac{1}{3} =-\frac{2}{-8}\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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