Se f(x, y, z)=x y^{2} z^{3}+\operatorname{arcsen}(x \sqrt{z}), determine f_{i z}. [Dica: Qual ordem de diferenciaçăo é a mais fácil?]

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y,z)=x\,y^{2}z^{3}+\arcsin\bigl(x\sqrt{z}\bigr)
e pede a derivada mista
f_{iz} \;\equiv\;\frac{\partial^{2}f}{\partial i\,\partial z}.
Como não há variável “ i”, interpretamos que querem a derivada mista em x e z, ou seja,
f_{xz} \;=\;\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(f_{x}\Bigr) \quad\text{ou}\quad f_{zx} \;=\;\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(f_{z}\Bigr).
Pelo teorema de Clairaut, f_{xz}=f_{zx}. Vamos escolher a ordem mais fácil, que será primeiro em z e depois em x.

Passo 2

Calcular f_{z}.
Diferenciando
f(x,y,z)=x\,y^{2}z^{3}+\arcsin\bigl(x\sqrt{z}\bigr)
em relação a z, temos
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,y^{2}z^{3}\bigr) =3\,x\,y^{2}z^{2},
e, para o segundo termo, usando a regra da cadeia e \frac{d}{dz}\bigl(x\sqrt{z}\bigr)=x\cdot\frac{1}{2\sqrt{z}},
\frac{\partial}{\partial z}\Bigl[\arcsin(x\sqrt{z})\Bigr] =\frac{1}{\sqrt{\,1-(x\sqrt{z})^{2}\,}}\;\cdot\;x\cdot\frac{1}{2\sqrt{z}} =\frac{x}{2\sqrt{z}\,\sqrt{1 - x^{2}z}}.
Portanto,
f_{z}=3\,x\,y^{2}z^{2} \;+\;\frac{x}{2\sqrt{z}\,\sqrt{1 - x^{2}z}}.

Passo 3

Calcular f_{zx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_{z}).
Primeiro, a derivada de 3\,x\,y^{2}z^{2} em x é
3\,y^{2}z^{2}.
Para o segundo termo, note que
\frac{x}{2\sqrt{z}\,\sqrt{1 - x^{2}z}} =\frac{1}{2\sqrt{z}}\;x\;(1 - x^{2}z)^{-\tfrac12}.
Chamando
g(x) = x\,(1 - x^{2}z)^{-\tfrac12},
temos
g'(x) =(1 - x^{2}z)^{-\tfrac12} + x\;\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(1 - x^{2}z)^{-\tfrac32}\;(-2x\,z) =(1 - x^{2}z)^{-\tfrac32}.
Logo,
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[\frac{x}{2\sqrt{z}\,\sqrt{1 - x^{2}z}}\Bigr] =\frac{1}{2\sqrt{z}}\;(1 - x^{2}z)^{-\tfrac32}.
Somando,
f_{zx} =3\,y^{2}z^{2} \;+\;\frac{1}{2\sqrt{z}\,(1 - x^{2}z)^{\tfrac32}}.

Passo 4

Pelo teorema de Clairaut, f_{xz}=f_{zx}, logo a derivada mista pedida é
f_{iz} =f_{xz} =3\,y^{2}z^{2} +\frac{1}{2\sqrt{z}\,\bigl(1 - x^{2}z\bigr)^{\tfrac32}}.

Resposta

f_{iz} =3\,y^{2}z^{2} +\frac{1}{2\sqrt{z}\,(1 - x^{2}z)^{3/2}}.

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