( 1,5 pontos) Encontrar o comprimento de arco da curva r=e^{2 \theta}, de \theta=0 até \theta=\frac{3 \pi}{2}, dada em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada em coordenadas polares por \;r=e^{2\theta}\; para \theta variando de 0 até \tfrac{3\pi}{2}. O conteúdo é comprimento de curva em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula
L = \int_{\theta=a}^{\theta=b} \sqrt{r(\theta)^2 + \bigl(r'(\theta)\bigr)^2}\;d\theta.

Passo 2

Calculamos a derivada de r em relação a \theta:
r(\theta) = e^{2\theta} \quad\Longrightarrow\quad r'(\theta)=\frac{d}{d\theta}e^{2\theta}=2e^{2\theta}.

Passo 3

Substituímos r e r' na fórmula do comprimento:
\sqrt{r^2 + (r')^2} =\sqrt{\bigl(e^{2\theta}\bigr)^2 + \bigl(2e^{2\theta}\bigr)^2} =\sqrt{e^{4\theta} + 4e^{4\theta}} =\sqrt{5\,e^{4\theta}} =\sqrt{5}\;e^{2\theta}.
Logo,
L = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \sqrt{5}\;e^{2\theta}\;d\theta.

Passo 4

Fatoramos \sqrt{5} e integramos:
L = \sqrt{5}\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} e^{2\theta}\;d\theta =\sqrt{5}\;\biggl[\frac{e^{2\theta}}{2}\biggr]_{0}^{\frac{3\pi}{2}} =\frac{\sqrt{5}}{2}\bigl(e^{2\cdot\frac{3\pi}{2}} - e^{0}\bigr).

Passo 5

Calculando 2\cdot\frac{3\pi}{2} = 3\pi e e^0=1, obtemos
L = \frac{\sqrt{5}}{2}\,\bigl(e^{3\pi} - 1\bigr).

Resposta

L = \frac{\sqrt{5}}{2}\,\bigl(e^{3\pi} - 1\bigr).

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