Determine as derivadas parciais de
ordem das funções indicadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
dada por
As perguntas explícitas são: encontrar
As informações relevantes são os termos que compõem ; cada termo é um produto de potências de
(ou termo independente).
As informações relevantes são os termos que compõem
Passo 2
Conceitos úteis (explicados devagar):
- Definição: a derivada parcial de
em relação a é a taxa de variação de quando só varia e ficam constantes. Notação: . - Regra do poder (power rule): para uma função
com inteiro, . Exemplo simples: . - Derivada parcial aplicada a produtos: se um termo é produto de funções de
e constantes (por exemplo com contendo mas constantes em relação a ), derivamos apenas a parte que depende de usando a regra do poder; as outras variáveis tratamos como constantes. Exemplo: .
Passo 3
Cálculo de
— vamos derivar termo a termo, lembrando que
são tratadas como constantes.
Termo 1:
.
- Aqui
é constante. Pela regra do poder,
Termo 2:
.
-
e são constantes; . Então
Termo 3:
.
- Derivando em
, , portanto
Termo 4:
não depende de
, contribuição
.
Termo 5:
não depende de
, contribuição
.
Somando as contribuições:
Passo 4
Cálculo de
— agora
são constantes.
Termo 1:
não depende de
, contribuição
.
Termo 2:
.
- Derivando em
, , então
Termo 3:
.
- Aplicando a regra do poder à
: . Assim
Termo 4:
.
-
.
Termo 5:
não depende de
, contribuição
.
Somando:
Passo 5
Cálculo de
— agora
são constantes.
Termo 1:
.
- Derivando em
: , logo
Termo 2:
.
-
, então
Termo 3:
.
-
, então
Termo 4:
não depende de
, contribuição
.
Termo 5:
.
-
, contribuição .
Somando: