Determine as derivadas parciais de 1^{a} ordem das funções indicadas abaixo:
\mathrm{w}=\mathrm{w}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=4 \mathrm{x}^{3} \mathrm{z}-3 \mathrm{x}^{2} \mathrm{yz}^{2}-4 \mathrm{xy}^{2} \mathrm{z}^{3}-6 \mathrm{y}^{3}+\mathrm{z}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função \mathrm{w}=\mathrm{w}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}) dada por
\mathrm{w}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=4\mathrm{x}^{3}\mathrm{z}-3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}-4\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{3}-6\mathrm{y}^{3}+\mathrm{z}.
As perguntas explícitas são: encontrar
\displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{x}},\quad \displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{y}},\quad \displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{z}}.
As informações relevantes são os termos que compõem \mathrm{w}; cada termo é um produto de potências de \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z} (ou termo independente).

Passo 2

Conceitos úteis (explicados devagar):
  1. Definição: a derivada parcial de \mathrm{w} em relação a \mathrm{x} é a taxa de variação de \mathrm{w} quando só \mathrm{x} varia e \mathrm{y},\mathrm{z} ficam constantes. Notação: \displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{x}}.
  2. Regra do poder (power rule): para uma função u(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{n} com n inteiro, \displaystyle \frac{d}{d\mathrm{x}}\mathrm{x}^{n}=n\mathrm{x}^{n-1}. Exemplo simples: \displaystyle \frac{d}{d\mathrm{x}}\mathrm{x}^{3}=3\mathrm{x}^{2}.
  3. Derivada parcial aplicada a produtos: se um termo é produto de funções de \mathrm{x} e constantes (por exemplo \mathrm{a}\,\mathrm{x}^{n} com \mathrm{a} contendo \mathrm{y},\mathrm{z} mas constantes em relação a \mathrm{x}), derivamos apenas a parte que depende de \mathrm{x} usando a regra do poder; as outras variáveis tratamos como constantes. Exemplo: \displaystyle \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}\big(5\mathrm{y}\,\mathrm{x}^{2}\big)=5\mathrm{y}\cdot 2\mathrm{x}=10\mathrm{y}\mathrm{x}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{x}} — vamos derivar termo a termo, lembrando que \mathrm{y},\mathrm{z} são tratadas como constantes.
Termo 1: \;4\mathrm{x}^{3}\mathrm{z}.
  • Aqui \mathrm{z} é constante. Pela regra do poder,
\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}\big(4\mathrm{x}^{3}\mathrm{z}\big)=4\mathrm{z}\cdot\frac{d}{d\mathrm{x}}\mathrm{x}^{3}=4\mathrm{z}\cdot 3\mathrm{x}^{2}=12\mathrm{x}^{2}\mathrm{z}.
Termo 2: -3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}.
  • \mathrm{y} e \mathrm{z} são constantes; \frac{d}{d\mathrm{x}}\mathrm{x}^{2}=2\mathrm{x}. Então
\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}\big(-3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}\big)=-3\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}\cdot 2\mathrm{x}=-6\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}.
Termo 3: -4\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{3}.
  • Derivando em \mathrm{x}, \frac{d}{d\mathrm{x}}\mathrm{x}=1, portanto
\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}\big(-4\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{3}\big)=-4\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{3}.
Termo 4: -6\mathrm{y}^{3} não depende de \mathrm{x}, contribuição 0.
Termo 5: +\mathrm{z} não depende de \mathrm{x}, contribuição 0.
Somando as contribuições:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{x}}=12\mathrm{x}^{2}\mathrm{z}-6\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}-4\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{3}.}

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{y}} — agora \mathrm{x},\mathrm{z} são constantes.
Termo 1: 4\mathrm{x}^{3}\mathrm{z} não depende de \mathrm{y}, contribuição 0.
Termo 2: -3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}.
  • Derivando em \mathrm{y}, \frac{d}{d\mathrm{y}}\mathrm{y}=1, então
\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}\big(-3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}\big)=-3\mathrm{x}^{2}\mathrm{z}^{2}.
Termo 3: -4\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{3}.
  • Aplicando a regra do poder à \mathrm{y}^{2}: \frac{d}{d\mathrm{y}}\mathrm{y}^{2}=2\mathrm{y}. Assim
\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}\big(-4\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{3}\big)=-4\mathrm{x}\mathrm{z}^{3}\cdot 2\mathrm{y}=-8\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}^{3}.
Termo 4: -6\mathrm{y}^{3}.
  • \frac{d}{d\mathrm{y}}\big(-6\mathrm{y}^{3}\big)=-6\cdot 3\mathrm{y}^{2}=-18\mathrm{y}^{2}.
Termo 5: +\mathrm{z} não depende de \mathrm{y}, contribuição 0.
Somando:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{y}}=-3\mathrm{x}^{2}\mathrm{z}^{2}-8\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}^{3}-18\mathrm{y}^{2}.}

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{z}} — agora \mathrm{x},\mathrm{y} são constantes.
Termo 1: 4\mathrm{x}^{3}\mathrm{z}.
  • Derivando em \mathrm{z}: \frac{d}{d\mathrm{z}}\mathrm{z}=1, logo
\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\big(4\mathrm{x}^{3}\mathrm{z}\big)=4\mathrm{x}^{3}.
Termo 2: -3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}.
  • \frac{d}{d\mathrm{z}}\mathrm{z}^{2}=2\mathrm{z}, então
\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\big(-3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}\big)=-3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\cdot 2\mathrm{z}=-6\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\mathrm{z}.
Termo 3: -4\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{3}.
  • \frac{d}{d\mathrm{z}}\mathrm{z}^{3}=3\mathrm{z}^{2}, então
\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\big(-4\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{3}\big)=-4\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\cdot 3\mathrm{z}^{2}=-12\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{2}.
Termo 4: -6\mathrm{y}^{3} não depende de \mathrm{z}, contribuição 0.
Termo 5: +\mathrm{z}.
  • \frac{d}{d\mathrm{z}}\mathrm{z}=1, contribuição +1.
Somando:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{z}}=4\mathrm{x}^{3}-6\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\mathrm{z}-12\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{2}+1.}

Resposta

\displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{x}}=12\mathrm{x}^{2}\mathrm{z}-6\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}^{2}-4\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{3}
\displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{y}}=-3\mathrm{x}^{2}\mathrm{z}^{2}-8\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}^{3}-18\mathrm{y}^{2}
\displaystyle \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{z}}=4\mathrm{x}^{3}-6\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}\mathrm{z}-12\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}^{2}+1

Exercícios relacionados