Seja C(x, y)=100+2 x+3 y a função custo para fabricar x unidades de um produto I e y unidades de um produto II.
a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades de I e 20 unidades de II?
b) Qual o custo fixo?
c) Qual a variação de custo quando se aumenta em 5 unidades a fabricação do produto I e em 6 unidades a do produto II, a partir da situação do item (a)?
d) Represente graficamente os pontos ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) para os quais o custo é \mathrm{R} \ 300,00$.

Passo 1

O enunciado dá a função custo C(x,y)=100+2x+3y, onde x é o número de unidades do produto I e y o número de unidades do produto II. As perguntas são:
a) Calcular o custo quando x=10 e y=20.
b) Identificar o custo fixo.
c) Determinar a variação do custo ao aumentar x em 5 e y em 6, partindo da situação do item (a).
d) Representar graficamente os pontos (x,y) para os quais o custo é R\$\,300{,}00.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica do custo C(x,y)=100+2x+3y e os valores numéricos pedidos em (a) e (c).

Passo 2

Vamos resolver (a): avaliar a função custo num ponto específico. Quando temos uma função como C(x,y)=100+2x+3y, "avaliar em (x_0,y_0)" significa substituir x por x_0 e y por y_0 e calcular o resultado. Aqui x_0=10 e y_0=20. Substituindo:
C(10,20)=100+2\cdot 10+3\cdot 20.
Calcule passo a passo: 2\cdot 10=20 e 3\cdot 20=60. Somando:
C(10,20)=100+20+60=180.
Portanto o custo é R\$\,180{,}00.

Passo 3

Agora (b): o que é custo fixo e como achá-lo na expressão. O custo fixo é a parte do custo que não depende de x nem de y — é o valor constante que aparece na função. Na função C(x,y)=100+2x+3y a constante é 100. Isso significa que mesmo se x=0 e y=0 ainda temos C(0,0)=100. Logo o custo fixo é R\$\,100{,}00.

Passo 4

Para (c) vamos encontrar a variação do custo quando aumentamos x e y em quantidades dadas. Dois modos equivalentes e ambos úteis na prova:
Modo 1 — usar diferença direta de avaliações: ponto inicial é (10,20). Novo ponto é (10+5,\,20+6)=(15,26). Calcule C(15,26):
C(15,26)=100+2\cdot 15+3\cdot 26.
Calcule os produtos: 2\cdot 15=30 e 3\cdot 26=78. Somando:
C(15,26)=100+30+78=208.
A variação do custo é C(15,26)-C(10,20)=208-180=28. Logo aumenta R\$\,28{,}00.
Modo 2 — usar linearidade: como C(x,y)=100+2x+3y é linear em x e y, a variação \Delta C associada a variações \Delta x e \Delta y é
\Delta C = 2\Delta x + 3\Delta y,
porque o termo constante desaparece. Aqui \Delta x=5 e \Delta y=6, então
\Delta C = 2\cdot 5 + 3\cdot 6 =10+18=28.
Mesmo resultado: aumento de R\$\,28{,}00. Esse segundo modo é rápido e muito útil em prova.

Passo 5

Finalmente (d): representar os pontos (x,y) com custo R\$\,300{,}00. Isso significa resolver a equação
100+2x+3y=300.
Subtraindo 100 dos dois lados:
2x+3y=200.
Essa é a equação de uma reta no plano xy. Para escrever no formato “reta”, isolamos y:
y=\frac{200-2x}{3}= \frac{200}{3} - \frac{2}{3}x.
Aqui a inclinação (coeficiente angular) é -\tfrac{2}{3} e o intercepto em y é \tfrac{200}{3}. Para desenhar graficamente a reta, basta dois pontos que satisfaçam 2x+3y=200. Exemplos fáceis:
\text{se }x=0\text{ então }y=\frac{200}{3}\quad\text{(intercepto em }y\text{)}.ã
\text{se }y=0\text{ então }x=100\quad\text{(intercepto em }x\text{)}.ã
Outro par de pontos inteiros conveniente é x=1 que dá y=66, pois 2\cdot 1+3\cdot 66=2+198=200. Então, para representar graficamente, plote por exemplo os pontos (100,0) e (0,\tfrac{200}{3}) (ou (1,66)) e trace a reta que os une; se fizer sentido físico, considere apenas x\ge 0 e y\ge 0 (unidades não negativas).

Resposta

a) R\$\,180{,}00
b) R\$\,100{,}00
c) aumento de R\$\,28{,}00
d) reta dos pontos que satisfazem 2x+3y=200 (por exemplo (100,0) e (0,\tfrac{200}{3}); também (1,66)).

Exercícios relacionados