Determine as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y das seguintes funções f onde estão definidas.
f(x, y)=x^2 y^3+x^3 y^4-e^x y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y da função
f(x,y)=x^2y^3+x^3y^4-e^x y^2
Para isso vamos aplicar as regras de diferenciação parcial, tratando y como constante ao derivar em relação a x e x como constante ao derivar em relação a y.

Passo 2

Para partial fpartial x diferenciamos termo a termo em relação a x:
– De x^2y^3, visto que y^3 é constante, vem 2x,y^3.
– De x^3y^4, visto que y^4 é constante, vem 3x^2,y^4.
– De -e^x y^2, aplicamos a regra da cadeia com u=x y^2, cuja derivada em x é y^2, resultando em -y^2e^x y^2.
Assim,
partial fpartial x =2x,y^3+3x^2,y^4-y^2e^x y^2

Passo 3

Para partial fpartial y diferenciamos termo a termo em relação a y:
– De x^2y^3, como x^2 é constante, vem 3x^2,y^2.
– De x^3y^4, como x^3 é constante, vem 4x^3,y^3.
– De -e^x y^2, de novo pela cadeia com u=x y^2, cuja derivada em y é 2x y, resultando em -2x y,e^x y^2.
Logo,
partial fpartial y =3x^2,y^2+4x^3,y^3-2x y,e^x y^2

Resposta

partial fpartial x =2x,y^3+3x^2,y^4-y^2e^x y^2
partial fpartial y =3x^2,y^2+4x^3,y^3-2x y,e^x y^2

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