Determine as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y das seguintes funções f onde estão definidas.
f(x, y)=e^sen(yx)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^sinl(tfracyxr)
e pede as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y. O domínio natural é onde xneq0. Para resolver vamos usar a regra da cadeia, sabendo que
  1. a derivada de e^u em relação a u é e^u;
  2. a derivada de sin(u) em relação a u é cos(u);
  3. a derivada de tfracyx em relação a x e a y segue a regra do quociente.

Passo 2

Calcular partial fpartial x.
Defina u=sinl(tfracyxr). Então
partial fpartial x =e^u,dudx =e^sin(y/x)cdotcosl(tfracyxr)cdotddx!l(tfracyxr)
Como y é tratado como constante,
ddx!l(tfracyxr) =ycdotddx(x^-1) =ycdot(-1)x^-2 =-yx^2
Portanto
partial fpartial x =e^sin(y/x)cdotcosl(tfracyxr)cdotl(-yx^2r)

Passo 3

Calcular partial fpartial y.
Mantém-se u=sinl(tfracyxr), logo
partial fpartial y =e^u,dudy =e^sin(y/x)cdotcosl(tfracyxr)cdotddy!l(tfracyxr)
Agora x é constante, então
ddy!l(tfracyxr) =1x
Fica
partial fpartial y =e^sin(y/x)cdotcosl(tfracyxr)cdot1x

Resposta

partial fpartial x =-yx^2;e^sin(y/x);cosl(tfracyxr), partial fpartial y =1x;e^sin(y/x);cosl(tfracyxr), xneq0

Exercícios relacionados