Determine as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y das seguintes funções f onde estão definidas.
f(x, y)=ln (x+raizx^2+y^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=lnl(x+raizx^2+y^2r)
e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y.
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a uma função composta de logaritmo e raiz quadrada.

Passo 2

Defina
g(x,y)=x+raizx^2+y^2,
assim f(x,y)=lnl(g(x,y)r). Pela regra da cadeia para a derivada em relação a x:
partial fpartial x =1g(x,y);partial gpartial x
Agora calcule
partial gpartial x =1+partialpartial xraizx^2+y^2 =1+xraizx^2+y^2

Passo 3

Substituindo em partial f/partial x:
partial fpartial x =1+xraizx^2+y^2 x+raizx^2+y^2 =raizx^2+y^2+xraizx^2+y^2 x+raizx^2+y^2 =1raizx^2+y^2

Passo 4

Para a derivada em relação a y usamos o mesmo g. Pela regra da cadeia:
partial fpartial y =1g(x,y);partial gpartial y, partial gpartial y =partialpartial yraizx^2+y^2 =yraizx^2+y^2
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partial fpartial y =yraizx^2+y^2 x+raizx^2+y^2 =yraizx^2+y^2,l(x+raizx^2+y^2r)

Resposta

partial fpartial x =1raizx^2+y^2, partial fpartial y =yraizx^2+y^2,l(x+raizx^2+y^2r),
definidas para (x,y) tais que ,x+raizx^2+y^2>0.

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