Determine as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y das seguintes funções f onde estão definidas.
f(x, y)=e^x y ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=e^xy,lnl(x^2+y^2r)
em todos os pontos onde ela está definida. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais usando a regra do produto e a regra da cadeia. O domínio natural é
(x,y)inR^2mid x^2+y^2>0,
isto é, (x,y)neq(0,0).

Passo 2

Para partial fpartial x tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto a
u(x,y)=e^xy, v(x,y)=lnl(x^2+y^2r)
Temos
partial upartial x = y,e^xy, partial vpartial x =1x^2+y^2cdot 2x =2xx^2+y^2
Logo,
partial fpartial x = partial upartial x,v + u,partial vpartial x = y,e^xylnl(x^2+y^2r) +e^xy,2xx^2+y^2

Passo 3

Para partial fpartial y tratamos x como constante e repetimos o processo sobre
u(x,y)=e^xy, v(x,y)=lnl(x^2+y^2r)
Dessa vez
partial upartial y = x,e^xy, partial vpartial y =1x^2+y^2cdot 2y =2yx^2+y^2
Então
partial fpartial y = x,e^xylnl(x^2+y^2r) +e^xy,2yx^2+y^2

Resposta

partial fpartial x = e^xyl(y,lnl(x^2+y^2r)+2xx^2+y^2r),
partial fpartial y = e^xyl(x,lnl(x^2+y^2r)+2yx^2+y^2r),
válidas para (x,y)neq(0,0).

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