Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
f(x, y)=3 x^{4}-5 x^{2} y^{3}+4 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=3x^{4}-5x^{2}y^{3}+4y^{2}.
Informações dadas:
\;f é uma função de duas variáveis (x,y) composta por três termos: 3x^{4}, -5x^{2}y^{3} e 4y^{2}.
As perguntas são: calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é derivada parcial? Vou explicar devagarinho: a derivada parcial de f em relação a x, escrita \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, mede como f muda quando só mexemos x e seguramos y fixo. Analogamente, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} mede a variação de f quando só mudamos y e mantemos x constante. Na prática, ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante.
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Se f=g+h, então \partial f/\partial x=\partial g/\partial x+\partial h/\partial x.
  • Regra da constante: constantes multiplicativas saem da derivada. Se c é constante, \partial (c\cdot u)/\partial x = c\cdot \partial u/\partial x.
  • Regra do expoente (power rule): para uma função de uma variável u(t)=t^{n}, \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}. Usamos isso aplicando na variável que estamos derivando, tratando as outras como constantes.
Exemplo rápido para fixar: se eu tenho x^{4}, a derivada em relação a x é 4x^{3}. Se eu tenho y^{3} e derivo em relação a x, o resultado é 0 (porque y^{3} é constante quando x varia).

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) passo a passo, derivando termo a termo e tratando y como constante.
Escrevemos a derivada como soma das derivadas dos termos:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{4}\big) - \frac{\partial}{\partial x}\big(5x^{2}y^{3}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(4y^{2}\big).
Calcule cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{4}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=3\cdot 4x^{3}=12x^{3}.
\frac{\partial}{\partial x}\big(5x^{2}y^{3}\big)=5y^{3}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=5y^{3}\cdot 2x=10x y^{3}.
Observação: havia sinal negativo no termo original -5x^{2}y^{3}, então a derivada desse termo é -10x y^{3}.
\frac{\partial}{\partial x}\big(4y^{2}\big)=0,
pois 4y^{2} é constante quando derivamos em relação a x.
Juntando:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=12x^{3}-10x y^{3}.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y), derivando termo a termo e tratando x como constante.
Escrevemos:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{4}\big) - \frac{\partial}{\partial y}\big(5x^{2}y^{3}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(4y^{2}\big).
Calcule cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{4}\big)=0,
pois 3x^{4} é constante quando variamos y.
\frac{\partial}{\partial y}\big(5x^{2}y^{3}\big)=5x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\big(y^{3}\big)=5x^{2}\cdot 3y^{2}=15x^{2}y^{2}.
Com o sinal negativo do termo original, a derivada é -15x^{2}y^{2}.
\frac{\partial}{\partial y}\big(4y^{2}\big)=4\cdot\frac{d}{dy}\big(y^{2}\big)=4\cdot 2y=8y.
Juntando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-15x^{2}y^{2}+8y.

Passo 5

Resumo e dica para a prova: sempre escreva a função como soma de termos, aplique as regras termo a termo, lembrando de tratar a outra variável como constante. Se ficar na dúvida, faça mentalmente: “derivando em relação a x, mantenho y fixo; derivando em relação a y, mantenho x fixo”. Faz com calma e você acerta.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=12x^{3}-10x y^{3}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-15x^{2}y^{2}+8y

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