Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas:
é uma função de duas variáveis
composta por três termos:
,
e
.
As perguntas são: calcular e
.
As perguntas são: calcular
Passo 2
O que é derivada parcial? Vou explicar devagarinho: a derivada parcial de
em relação a
, escrita
, mede como
muda quando só mexemos
e seguramos
fixo. Analogamente,
mede a variação de
quando só mudamos
e mantemos
constante. Na prática, ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante.
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Se
, então . - Regra da constante: constantes multiplicativas saem da derivada. Se
é constante, . - Regra do expoente (power rule): para uma função de uma variável
, . Usamos isso aplicando na variável que estamos derivando, tratando as outras como constantes.
Exemplo rápido para fixar: se eu tenho
, a derivada em relação a
é
. Se eu tenho
e derivo em relação a
, o resultado é
(porque
é constante quando
varia).
Passo 3
Agora calculamos
passo a passo, derivando termo a termo e tratando
como constante.
Escrevemos a derivada como soma das derivadas dos termos:
Calcule cada termo:
Observação: havia sinal negativo no termo original
, então a derivada desse termo é
.
pois
é constante quando derivamos em relação a
.
Juntando:
Passo 4
Agora calculamos
, derivando termo a termo e tratando
como constante.
Escrevemos:
Calcule cada termo:
pois
é constante quando variamos
.
Com o sinal negativo do termo original, a derivada é
.
Juntando:
Passo 5
Resumo e dica para a prova: sempre escreva a função como soma de termos, aplique as regras termo a termo, lembrando de tratar a outra variável como constante. Se ficar na dúvida, faça mentalmente: “derivando em relação a
, mantenho
fixo; derivando em relação a
, mantenho
fixo”. Faz com calma e você acerta.