Resolva o Problema de valor inicial t \frac{d y}{d t}+(t+1) y=t, y(\ln 2)=1.

Passo 1

O problema dá a equação diferencial com condição inicial:
t\frac{dy}{dt}+(t+1)y=t,
e a condição inicial
y(\ln 2)=1.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial para valores de t compatíveis com a condição inicial e que verifique y(\ln 2)=1.
Informações relevantes fornecidas:
\text{E.D.: } t\frac{dy}{dt}+(t+1)y=t, \qquad \text{C.I.: } y(\ln 2)=1.
Observação numérica importante que vamos usar: \ln 2>0, então a condição inicial está em um ponto com t>0.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem, isto é \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=q(t). Como há um fator t multiplicando \dfrac{dy}{dt}, e como a condição inicial está em \ln 2>0, podemos dividir a equação por t (isso exige t\neq0; estamos trabalhando no intervalo que contém \ln 2, então está OK). Dividindo por t obtemos:
\frac{dy}{dt}+\frac{t+1}{t}\,y=1.
Aqui identificamos:
p(t)=\frac{t+1}{t}=1+\frac{1}{t}, \qquad q(t)=1.

Passo 3

Vamos usar o método do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) (o fator integrante) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(t)y(t). O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Calculamos a integral de p(t):
\int p(t)\,dt=\int\left(1+\frac{1}{t}\right)dt = t + \ln t + C_0.
Como o fator integrante pode ser tomado sem constante multiplicativa, escolhemos
\mu(t)=\exp\!\left(t+\ln t\right).
Usando propriedades de exponencial, \exp(t+\ln t)=\exp(t)\exp(\ln t)=e^t t. Logo
\mu(t)=t e^t.

Passo 4

Explico por que multiplicar por \mu(t) ajuda: se \mu foi escolhida como acima, então pela regra do produto
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)\frac{dy}{dt}+\mu'(t)y(t).
Queremos que \mu'(t)=\mu(t)p(t), o que é garantido pela definição de \mu. Assim, multiplicando a equação padrão por \mu(t) obtemos
\mu(t)\frac{dy}{dt}+\mu(t)p(t)y=\mu(t)q(t)
ou seja
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)q(t).
No nosso caso:
\frac{d}{dt}\big(t e^t y\big)=t e^t\cdot 1 = t e^t.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t e^t y = \int t e^t\,dt + C,
onde C é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral \int t e^t\,dt. Façamos por integração por partes: escolha u=t e dv=e^t dt. Então du=dt e v=e^t. A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aplicando,
\int t e^t\,dt = t e^t - \int e^t\,dt = t e^t - e^t + C_1 = (t-1)e^t + C_1.
Podemos absorver C_1 na constante C já presente, então obtemos
t e^t y = (t-1)e^t + C.

Passo 6

Isolamos y(t). Dividindo ambos os lados por t e^t (novamente usamos t\neq0):
y(t) = \frac{(t-1)e^t + C}{t e^t} = \frac{t-1}{t} + \frac{C}{t e^t}.
Simplificando a primeira fração:
\frac{t-1}{t}=1-\frac{1}{t},
portanto
y(t)=1-\frac{1}{t}+\frac{C e^{-t}}{t}.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(\ln 2)=1 para determinar C. Substituímos t=\ln 2 e y=1:
1 = 1 - \frac{1}{\ln 2} + \frac{C e^{-\ln 2}}{\ln 2}.
Observe que e^{-\ln 2}=e^{\ln(2^{-1})}=2^{-1}=\tfrac{1}{2}. Simplificando a equação:
1 = 1 - \frac{1}{\ln 2} + \frac{C}{2\ln 2}.
Subtraindo 1 dos dois lados:
0 = -\frac{1}{\ln 2} + \frac{C}{2\ln 2}.
Multiplicando ambos os lados por \ln 2 (positivo) dá
0 = -1 + \frac{C}{2}.
Logo
\frac{C}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad C=2.

Passo 8

Substituímos C=2 na expressão geral. Assim a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(t)=1-\frac{1}{t}+\frac{2 e^{-t}}{t}.
Opcionalmente podemos reescrever como
y(t)=1+\frac{2e^{-t}-1}{t},
mas a forma mais clara para a prova é a anterior.

Passo 9

Breve verificação (controle rápido): podemos checar que para t=\ln 2,
y(\ln 2)=1-\frac{1}{\ln 2}+\frac{2 e^{-\ln 2}}{\ln 2}=1-\frac{1}{\ln 2}+\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{\ln 2}=1,
logo a condição inicial está satisfeita.

Resposta

y(t)=1-\dfrac{1}{t}+\dfrac{2e^{-t}}{t}

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