Resolva o Problema de valor inicial
.
Passo 1
O problema dá a equação diferencial com condição inicial:
e a condição inicial
O que se pede: encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial para valores de
compatíveis com a condição inicial e que verifique
.
Informações relevantes fornecidas:
Observação numérica importante que vamos usar:
, então a condição inicial está em um ponto com
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem, isto é
. Como há um fator
multiplicando
, e como a condição inicial está em
, podemos dividir a equação por
(isso exige
; estamos trabalhando no intervalo que contém
, então está OK). Dividindo por
obtemos:
Aqui identificamos:
Passo 3
Vamos usar o método do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
(o fator integrante) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto
. O fator integrante é dado por
Calculamos a integral de
:
Como o fator integrante pode ser tomado sem constante multiplicativa, escolhemos
Usando propriedades de exponencial,
. Logo
Passo 4
Explico por que multiplicar por
ajuda: se
foi escolhida como acima, então pela regra do produto
Queremos que
, o que é garantido pela definição de
. Assim, multiplicando a equação padrão por
obtemos
ou seja
No nosso caso:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
. Façamos por integração por partes: escolha
e
. Então
e
. A fórmula da integração por partes é
Aplicando,
Podemos absorver
na constante
já presente, então obtemos
Passo 6
Isolamos
. Dividindo ambos os lados por
(novamente usamos
):
Simplificando a primeira fração:
portanto
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituímos
e
:
Observe que
. Simplificando a equação:
Subtraindo
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo) dá
Logo
Passo 8
Substituímos
na expressão geral. Assim a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Opcionalmente podemos reescrever como
mas a forma mais clara para a prova é a anterior.
Passo 9
Breve verificação (controle rápido): podemos checar que para
,
logo a condição inicial está satisfeita.