Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
z=x^{2 y}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função \displaystyle z = x^{2y}.
Informações dadas e observações úteis:
  • A função tem duas variáveis independentes: \displaystyle x e \displaystyle y.
  • Queremos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} (derivada parcial em relação a \displaystyle x, mantendo \displaystyle y constante) e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} (derivada parcial em relação a \displaystyle y, mantendo \displaystyle x constante).
  • Para trabalhar com uma potência em que o expoente depende de \displaystyle y, é conveniente assumir \displaystyle x>0 e usar a transformação com o logaritmo natural. Isso evita problemas com potências não inteiras de números não positivos.

Passo 2

Reescrever a função usando exponencial e logaritmo para facilitar a diferenciação. A identidade que usamos é, para \displaystyle x>0 e qualquer real \displaystyle a,
x^{a} = e^{a\ln x}.
Aplicando aqui com \displaystyle a=2y, obtemos
z = x^{2y} = e^{2y\ln x}.
Isso é útil porque a derivada de uma exponencial composta é simples: se \displaystyle z=e^{u(x,y)}, então \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=e^{u}\frac{\partial u}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=e^{u}\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Defina \displaystyle u(x,y)=2y\ln x, de modo que \displaystyle z=e^{u}. Usando a regra da cadeia para derivadas parciais:
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora calcule \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} mantendo \displaystyle y constante. Como \displaystyle u=2y\ln x e \displaystyle y é constante nesse derivar,
\frac{\partial u}{\partial x}=2y\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=2y\cdot\frac{1}{x}=\frac{2y}{x}.
Substituindo,
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{2y\ln x}\cdot\frac{2y}{x}.
Mas \displaystyle e^{2y\ln x}=x^{2y}, logo
\frac{\partial z}{\partial x}=x^{2y}\cdot\frac{2y}{x}=\;2y\,x^{2y-1}.
Explicando o passo algébrico final: multiplicar por \displaystyle \frac{1}{x} reduz o expoente em 1, por isso \displaystyle x^{2y}\cdot\frac{1}{x}=x^{2y-1}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
De novo, com \displaystyle z=e^{u} e \displaystyle u=2y\ln x,
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Agora derive \displaystyle u em relação a \displaystyle y, mantendo \displaystyle x constante:
\frac{\partial u}{\partial y}=2\ln x,
pois \displaystyle \ln x é constante quando \displaystyle x é fixo. Então
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{2y\ln x}\cdot 2\ln x = x^{2y}\cdot 2\ln x = 2x^{2y}\ln x.
Observação prática: se \displaystyle x=1, então \displaystyle \ln x=0 e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=0, o que é coerente porque 1^{2y}=1 independe de \displaystyle y.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=2y\,x^{2y-1}
\frac{\partial z}{\partial y}=2x^{2y}\ln x

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