Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
As perguntas específicas são:
Informações dadas: a expressão explícita de
em termos de
e
. Não há restrição de domínio no enunciado, portanto assumimos
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar: a derivada parcial em relação a
mede a taxa de variação de
quando só alteramos
e mantemos
fixo. Formalmente, para um ponto
,
Analogamente a derivada parcial em relação a
é a taxa de variação quando só alteramos
mantendo
fixo:
Na prática, para funções compostas de termos que dependem separadamente de
e de
, isso significa: ao derivar em relação a
tratamos
como constante, e vice-versa.
Passo 3
Calcular
: comece olhando para os termos de
.
Ao derivar em relação a
, o termo
é constante (pois depende só de
), então sua derivada em relação a
é
. Resta derivar
. Esse é um composto:
e queremos
. Usamos a regra da cadeia: se
, então
Aqui
. Portanto,
Assim obtemos a expressão para a derivada parcial em
(antes de simplificar qualquer identidade trigonométrica).
Passo 4
Calcular
: agora tratamos
como constante. O termo
é constante em relação a
, logo contribui com
. Resta derivar
. Novamente é composto: seja
e
. A regra da cadeia dá
Sabemos
. Então
Como temos um sinal negativo inicial em
, isto é,
, a derivada fica
Passo 5
Simplificações e observações úteis para a prova: a expressão
pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
Então uma forma alternativa e compacta da derivada parcial em
é
. Para a derivada em
também podemos reconhecer padrões, mas
já está bem explícita e direta de aplicar em uma prova.