Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
z=\operatorname{sen}^{3}\left(2 x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
z=\operatorname{sen}^{3}\!\bigl(2xy^{2}\bigr).
Informações dadas:
z=\operatorname{sen}^{3}\!\bigl(2xy^{2}\bigr)
e as incógnitas em relação às quais queremos derivar são x e y. Portanto precisamos encontrar
\frac{\partial z}{\partial x}\quad\text{e}\quad\frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Vamos rever as regras que vamos usar (ninguém começa correndo numa prova sem saber o básico):
\text{(i) Regra da cadeia:}\quad \frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))\cdot g'(t).
Aqui, quando derivamos z em relação a x (ou y), tratamos a função interna como u=2xy^{2} e aplicamos a regra da cadeia com derivadas parciais.
\text{(ii) Regra da potência:}\quad \frac{d}{dt}\bigl(h(t)\bigr)^n = n\bigl(h(t)\bigr)^{n-1} h'(t).ê
\text{(iii) Derivada do seno:}\quad \frac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
Aplicando (ii) sobre \sin^{3}(u) e (iii) dentro da cadeia, teremos o padrão típico: multiplicar pelo expoente, reduzir a potência em 1, e multiplicar pela derivada da parte interna.

Passo 3

Para organizar, fazemos a substituição interna:
u = 2xy^{2},
então
z = \sin^{3}(u).
Isso facilita: primeiro achamos \dfrac{dz}{du} e depois multiplicamos por \dfrac{\partial u}{\partial x} ou \dfrac{\partial u}{\partial y}, conforme a variável.

Passo 4

Calcular \dfrac{dz}{du} usando regra da potência + derivada do seno:
\frac{dz}{du} = 3\sin^{2}(u)\cdot\cos(u).
Explicando cada parte: o 3 vem da potência (\cdot)^3, \sin^{2}(u) é a potência reduzida, e \cos(u) é a derivada de \sin(u).

Passo 5

Agora calculamos \dfrac{\partial u}{\partial x} tratando y como constante:
u=2xy^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x}=2y^{2}.
Justificativa: y^{2} é constante em relação a x, então derivada de 2x é 2, ficando 2y^{2}.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = \bigl(3\sin^{2}(u)\cos(u)\bigr)\cdot\bigl(2y^{2}\bigr).
Substituindo u=2xy^{2} e multiplicando os fatores:
\frac{\partial z}{\partial x}=6y^{2}\,\sin^{2}\!\bigl(2xy^{2}\bigr)\cos\!\bigl(2xy^{2}\bigr).

Passo 7

Agora calculamos \dfrac{\partial u}{\partial y} tratando x como constante:
u=2xy^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial y}=2x\cdot 2y = 4xy.
Explicando: derivate de y^{2} em relação a y é 2y; o fator 2x é constante, ficando 2x\cdot 2y.

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = \bigl(3\sin^{2}(u)\cos(u)\bigr)\cdot\bigl(4xy\bigr).
Substituindo u=2xy^{2} e simplificando:
\frac{\partial z}{\partial y}=12xy\,\sin^{2}\!\bigl(2xy^{2}\bigr)\cos\!\bigl(2xy^{2}\bigr).

Passo 9

Resumo da técnica (para usar rapidinho na prova): identificar a parte interna u, derivar a “camada externa” \sin^{3}(u) para obter 3\sin^{2}(u)\cos(u), e depois multiplicar pela derivada parcial de u em relação à variável desejada. Um exemplo rápido de treino: se w=(\sin(3x))^{3}, então \dfrac{dw}{dx}=3\sin^{2}(3x)\cos(3x)\cdot 3=9\sin^{2}(3x)\cos(3x). Isso é o mesmo padrão que usamos aqui, só que com u=3x.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=6y^{2}\,\sin^{2}\!\bigl(2xy^{2}\bigr)\cos\!\bigl(2xy^{2}\bigr)
\frac{\partial z}{\partial y}=12xy\,\sin^{2}\!\bigl(2xy^{2}\bigr)\cos\!\bigl(2xy^{2}\bigr)

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