Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
f(x, y)=\operatorname{sen}^{3} x-\cos ^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\operatorname{sen}^{3}x-\cos^{2}y.
As perguntas específicas são:
\text{(i) } \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \qquad\text{e}\qquad \text{(ii) } \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Informações dadas: a expressão explícita de f(x,y) em termos de x e y. Não há restrição de domínio no enunciado, portanto assumimos x,y\in\mathbb{R}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar: a derivada parcial em relação a x mede a taxa de variação de f quando só alteramos x e mantemos y fixo. Formalmente, para um ponto (x_0,y_0),
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.
Analogamente a derivada parcial em relação a y é a taxa de variação quando só alteramos y mantendo x fixo:
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}.
Na prática, para funções compostas de termos que dependem separadamente de x e de y, isso significa: ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e vice-versa.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}: comece olhando para os termos de f.
f(x,y)=\operatorname{sen}^{3}x-\cos^{2}y.
Ao derivar em relação a x, o termo -\cos^{2}y é constante (pois depende só de y), então sua derivada em relação a x é 0. Resta derivar \operatorname{sen}^{3}x. Esse é um composto: u(x)=\sin x e queremos (u(x))^{3}. Usamos a regra da cadeia: se h(x)=\big(u(x)\big)^{3}, então
h'(x)=3\big(u(x)\big)^{2}\cdot u'(x).
Aqui u'(x)=\cos x. Portanto,
\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sen}^{3}x\big)=3\sin^{2}x\cdot\cos x.
Assim obtemos a expressão para a derivada parcial em x (antes de simplificar qualquer identidade trigonométrica).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}: agora tratamos x como constante. O termo \operatorname{sen}^{3}x é constante em relação a y, logo contribui com 0. Resta derivar -\cos^{2}y. Novamente é composto: seja v(y)=\cos y e g(y)=-\big(v(y)\big)^{2}. A regra da cadeia dá
\frac{d}{dy}\big(v(y)^{2}\big)=2v(y)\,v'(y).
Sabemos v'(y)=-\sin y. Então
\frac{d}{dy}\big(\cos^{2}y\big)=2\cos y\cdot(-\sin y)=-2\cos y\sin y.
Como temos um sinal negativo inicial em f, isto é, -\cos^{2}y, a derivada fica
\frac{\partial}{\partial y}\big(-\cos^{2}y\big)= -\big(-2\cos y\sin y\big)=2\cos y\sin y.

Passo 5

Simplificações e observações úteis para a prova: a expressão 2\sin y\cos y pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
2\sin y\cos y=\sin(2y).
Então uma forma alternativa e compacta da derivada parcial em y é \sin(2y). Para a derivada em x também podemos reconhecer padrões, mas 3\sin^{2}x\cos x já está bem explícita e direta de aplicar em uma prova.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3\sin^{2}x\cos x\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2\sin y\cos y=\sin(2y)

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