(Valor: 3,0 pontos) Usando Multiplicadores de Lagrange, determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado para confeccionar uma caixa sem tampa que deve ter uma área total de 36 \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: usar multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões que minimizem a quantidade de papelão usado para fazer uma caixa sem tampa, com uma restrição numérica dada. As informações relevantes são:
  • A caixa é retangular sem tampa (base e quatro faces laterais).
  • O enunciado escreveu "área total de 36\\ \mathrm{cm}^{2}", mas isso tornaria a minimização da área sem sentido (a área usada seria fixa). Portanto eu vou assumir que houve um pequeno erro de digitação e que a restrição correta é o volume fixo de 36\\ \mathrm{cm}^{3}, que é o enunciado clássico deste tipo de problema. Vou resolver o problema nessa interpretação.
  • Objetivo: minimizar a quantidade de papelão usado (ou seja, a área da superfície da caixa sem tampa) sujeita à restrição de volume 36\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 2

Escolha de variáveis e formulação do problema:
  • Seja x o comprimento da base (em cm).
  • Seja y a largura da base (em cm).
  • Seja h a altura da caixa (em cm).
    Todas as variáveis são positivas: x>0,\\ y>0,\\ h>0.
A área de papelão usada (área da superfície sem tampa) é:
S(x,y,h)=\underbrace{xy}_{\text{base}}+\underbrace{2xh+2yh}_{\text{4 laterais}}.
O volume (restrição) é:
V(x,y,h)=xyz \quad\text{(aqui usamos \(z\) como \(h\), então)}\quad V(x,y,h)=xyh=36.ã
Queremos minimizar S(x,y,h) sujeito à restrição xyh=36.

Passo 3

Breve aula sobre multiplicadores de Lagrange (ideia intuitiva):
  • Quando queremos minimizar uma função S(x,y,h) sujeito a uma restrição g(x,y,h)=0 (aqui g(x,y,h)=xyh-36), fazemos a combinação chamada Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,h,\lambda)=S(x,y,h)-\lambda\bigl(g(x,y,h)\bigr).
  • Em um ponto de extremo sujeito à restrição, os gradientes de S e de g são paralelos, o que dá as equações \nabla S = \lambda \nabla g. Isso gera um sistema de equações algébricas para x,y,h,\lambda.
  • Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 4

Escrever a Lagrangiana e calcular derivadas parciais:
\mathcal{L}(x,y,h,\lambda)=xy+2xh+2yh-\lambda(xyh-36).
Agora calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero.
Derivadas parciais:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=y+2h-\lambda yh=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=x+2h-\lambda xh=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h}=2x+2y-\lambda xy=0,
e a restrição
xyh=36.
Então o sistema é
\begin{cases} y+2h=\lambda yh,\\[4pt] x+2h=\lambda xh,\\[4pt] 2x+2y=\lambda xy,\\[4pt] xyh=36. \end{cases}]

Passo 5

Usar simetria e manipular as equações:
  • Subtraindo a segunda equação da primeira:
(y+2h)-(x+2h)=\lambda yh-\lambda xh \implies y-x=\lambda h(y-x).
Isso dá
(y-x)\bigl(1-\lambda h\bigr)=0.
Portanto ou y=x ou \lambda h=1.
  • Se \lambda h=1, então da primeira equação y+2h=\lambda yh = \frac{1}{h}yh = y, o que implica 2h=0, impossível porque h>0. Então devemos ter
y=x.
Logo a base é quadrada (esperável por simetria).

Passo 6

Simplificar com y=x:
Substituindo y=x nas equações, obtemos:
  • Primeira/segunda equação (ambas iguais): x+2h=\lambda x h.
  • Terceira equação: 2x+2x=\lambda x x \Rightarrow 4x=\lambda x^2.
Da terceira equação isolamos \lambda:
\lambda=\frac{4x}{x^2}=\frac{4}{x}.
Substituímos esse \lambda na equação x+2h=\lambda x h:
x+2h=\frac{4}{x}\cdot x\cdot h=4h.
Assim
x+2h=4h \implies x=2h \implies h=\frac{x}{2}.

Passo 7

Aplicar a restrição do volume xyh=36 com y=x e h=\dfrac{x}{2}:
x\cdot x\cdot \frac{x}{2}=\frac{x^3}{2}=36.
Multiplicando por 2:
x^3=72.
Logo
x=\sqrt[3]{72}.
Podemos simplificar \sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{8\cdot 9}=2\sqrt[3]{9}. Então
x=2\sqrt[3]{9}.
E como y=x,
y=2\sqrt[3]{9}.
E a altura
h=\frac{x}{2}=\sqrt[3]{9}.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida:
  • Dimensões obtidas são positivas e satisfazem xyh= (2\sqrt[3]{9})^2\cdot \sqrt[3]{9}=4\cdot 9=36, então a restrição do volume está satisfeita.
  • Por argumentos de comportamento da função (quando uma dimensão vai a zero ou muito grande, a área cresce), o ponto crítico encontrado corresponde ao mínimo de área sujeito ao volume fixo. Portanto essas dimensões minimizam a quantidade de papelão.

Resposta

Base: x=y=2\sqrt[3]{9}\\ \mathrm{cm} (aproximadamente 4,160\\ \mathrm{cm}).
Altura: h=\sqrt[3]{9}\\ \mathrm{cm} (aproximadamente 2,080\\ \mathrm{cm}).

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