(Valor: 3,0 pontos) Usando Multiplicadores de Lagrange, determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado para confeccionar uma caixa sem tampa que deve ter uma área total de 36 \mathrm{~cm}^{2}.
Passo 1
O enunciado pede: usar multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões que minimizem a quantidade de papelão usado para fazer uma caixa sem tampa, com uma restrição numérica dada. As informações relevantes são:
A caixa é retangular sem tampa (base e quatro faces laterais).
O enunciado escreveu "área total de 36\\ \mathrm{cm}^{2}", mas isso tornaria a minimização da área sem sentido (a área usada seria fixa). Portanto eu vou assumir que houve um pequeno erro de digitação e que a restrição correta é o volume fixo de 36\\ \mathrm{cm}^{3}, que é o enunciado clássico deste tipo de problema. Vou resolver o problema nessa interpretação.
Objetivo: minimizar a quantidade de papelão usado (ou seja, a área da superfície da caixa sem tampa) sujeita à restrição de volume 36\\ \mathrm{cm}^{3}.
Passo 2
Escolha de variáveis e formulação do problema:
Seja x o comprimento da base (em cm).
Seja y a largura da base (em cm).
Seja h a altura da caixa (em cm).
Todas as variáveis são positivas: x>0,\\ y>0,\\ h>0.
A área de papelão usada (área da superfície sem tampa) é:
Em um ponto de extremo sujeito à restrição, os gradientes de S e de g são paralelos, o que dá as equações \nabla S = \lambda \nabla g. Isso gera um sistema de equações algébricas para x,y,h,\lambda.
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 4
Escrever a Lagrangiana e calcular derivadas parciais:
Se \lambda h=1, então da primeira equação y+2h=\lambda yh = \frac{1}{h}yh = y, o que implica 2h=0, impossível porque h>0. Então devemos ter
y=x.
Logo a base é quadrada (esperável por simetria).
Passo 6
Simplificar com y=x:
Substituindo y=x nas equações, obtemos:
Primeira/segunda equação (ambas iguais): x+2h=\lambda x h.
Terceira equação: 2x+2x=\lambda x x \Rightarrow 4x=\lambda x^2.
Da terceira equação isolamos \lambda:
\lambda=\frac{4x}{x^2}=\frac{4}{x}.
Substituímos esse \lambda na equação x+2h=\lambda x h:
x+2h=\frac{4}{x}\cdot x\cdot h=4h.
Assim
x+2h=4h \implies x=2h \implies h=\frac{x}{2}.
Passo 7
Aplicar a restrição do volume xyh=36 com y=x e h=\dfrac{x}{2}:
x\cdot x\cdot \frac{x}{2}=\frac{x^3}{2}=36.
Multiplicando por 2:
x^3=72.
Logo
x=\sqrt[3]{72}.
Podemos simplificar \sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{8\cdot 9}=2\sqrt[3]{9}. Então
x=2\sqrt[3]{9}.
E como y=x,
y=2\sqrt[3]{9}.
E a altura
h=\frac{x}{2}=\sqrt[3]{9}.
Passo 8
Interpretação e verificação rápida:
Dimensões obtidas são positivas e satisfazem xyh= (2\sqrt[3]{9})^2\cdot \sqrt[3]{9}=4\cdot 9=36, então a restrição do volume está satisfeita.
Por argumentos de comportamento da função (quando uma dimensão vai a zero ou muito grande, a área cresce), o ponto crítico encontrado corresponde ao mínimo de área sujeito ao volume fixo. Portanto essas dimensões minimizam a quantidade de papelão.