Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
z=\ln \left(3 x-y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função \;z=\ln\left(3x-y^{3}\right).
Informações dadas:
\;z é função de duas variáveis \;x e \;y.
O argumento do logaritmo é \;3x-y^{3}.
Domínio implícito (importante): o logaritmo natural está definido quando o argumento é positivo, ou seja \;3x-y^{3}>0.
As perguntas específicas são:
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

O que é derivada parcial?
A derivada parcial de z em relação a \;x é a taxa de variação de z quando só \;x varia e \;y fica fixo. Analogamente, a derivada parcial em relação a \;y é a taxa de variação quando só \;y varia e \;x fica fixo.
Exemplo mini: se f(x,y)=x^{2}y, então
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x\cdot y porque ao derivar em x tratamos y como constante.

Passo 3

Regra que vamos usar (cadeia + derivada do logaritmo): se z=\ln\big(u(x,y)\big) então, pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}
e
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui u(x,y)=3x-y^{3}. A ideia: derivar o ln como 1/u e multiplicar pela derivada do interior u em relação à variável escolhida.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Defina u(x,y)=3x-y^{3}. Primeiro calculemos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}:
\frac{\partial }{\partial x}(3x-y^{3})=\frac{\partial }{\partial x}(3x)-\frac{\partial }{\partial x}(y^{3})=3-0=3,
porque ao diferenciar em x tratamos y como constante, e a derivada de y^{3} em relação a x é zero.
Aplicando a fórmula da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{u(x,y)}\cdot 3=\frac{3}{3x-y^{3}}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Novamente u(x,y)=3x-y^{3}. Agora calculemos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}:
\frac{\partial }{\partial y}(3x-y^{3})=\frac{\partial }{\partial y}(3x)-\frac{\partial }{\partial y}(y^{3})=0-3y^{2}=-3y^{2},
porque ao diferenciar em y o termo 3x é constante (derivada zero) e a derivada de y^{3} é 3y^{2}.
Aplicando a fórmula da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{u(x,y)}\cdot(-3y^{2})=\frac{-3y^{2}}{3x-y^{3}}.

Passo 6

Observação final útil para prova: mantenha em mente a condição de existência \;3x-y^{3}>0 ao avaliar essas derivadas em pontos específicos. Se precisar simplificar, às vezes é conveniente fatorar um 3, mas as formas obtidas já são claras e corretas.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{3}{3x-y^{3}}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-3y^{2}}{3x-y^{3}}

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